Để giải hệ phương trình đã cho, ta thực hiện các bước biến đổi và tính toán như sau:

Hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{2}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 1 \quad (1) \\
\frac{10}{x+y} - \frac{3}{x-y} = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

### Bước 1: Gọi các biến phụ
Gọi:
\[
a = x+y, \quad b = x-y
\]

Thay vào các phương trình, ta có:

\[
\begin{cases}
\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1 \quad (1') \\
\frac{10}{a} - \frac{3}{b} = 1 \quad (2')
\end{cases}
\]

### Bước 2: Giải phương trình (1')
Từ (1'):
\[
\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1 \implies \frac{1}{b} = 1 - \frac{2}{a} \implies \frac{1}{b} = \frac{a - 2}{a} \implies b = \frac{a}{a-2}
\]

### Bước 3: Thay (1') vào (2')
Thay giá trị của \(b\) vào (2'):
\[
\frac{10}{a} - \frac{3(a - 2)}{a} = 1
\]
Thay vào:
\[
\frac{10}{a} - \frac{3a - 6}{a} = 1 \implies \frac{10 - 3a + 6}{a} = 1 \implies \frac{16 - 3a}{a} = 1
\]

### Bước 4: Giải phương trình
Giải phương trình trên:
\[
16 - 3a = a \implies 16 = 4a \implies a = 4
\]

### Bước 5: Tìm \(b\) từ \(a\)
Thay \(a\) vào công thức để tính \(b\):
\[
b = \frac{a}{a-2} = \frac{4}{4-2} = 2
\]

### Bước 6: Giải tìm \(x\) và \(y\)
Giải hệ:
\[
\begin{cases}
x + y = a = 4 \quad (3) \\
x - y = b = 2 \quad (4)
\end{cases}
\]

Cộng (3) và (4):
\[
2x = 6 \implies x = 3
\]

Thay \(x = 3\) vào (3):
\[
3 + y = 4 \implies y = 1
\]

### Kết quả
Giải được \(x\) và \(y\) là:
\[
\boxed{(3, 1)}
\]