Để giải bài toán liên quan đến tam giác \( ABC \) với góc \( A = 60^\circ \) và các điều kiện đã cho, ta có thể tiến hành như sau:

### a. Tính \( \angle BAD \), \( \angle DME \), \( \angle TOM \)

1. **Góc \( \angle BAD \)**:
- Bởi vì \( AD \) là đường trung tuyến từ \( A \) đến \( BC \), ta có thể áp dụng định lý về góc trong tam giác.
- Do \( A = 60^\circ \), khi \( D \) là điểm trên \( BC \), \( \angle BAD \) sẽ phụ thuộc vào vị trí của \( D \) nhưng có thể xác định được từ các góc còn lại.

2. **Góc \( \angle DME \)**:
- Nếu \( M \) là điểm cắt của \( AD \) với đường thẳng \( BC \), ta cần xác định gián tiếp góc \( DME \) thông qua vị trí M.

3. **Góc \( \angle TOM \)**:
- Tương tự, góc này có thể được tính dựa trên vị trí của các điểm và sử dụng tính chất của các tam giác.

### b. Chứng minh \( MK \) vuông góc với \( BC \)

- Để chứng minh \( MK \) vuông góc với \( BC \), ta cần chỉ ra rằng:
- \( MK \) là đường vuông góc từ điểm \( M \) đến đường thẳng \( BC \).
- Có thể sử dụng định nghĩa hoặc tính chất về góc vuông trong tam giác.

Lưu ý các bước chứng minh cho từng phần cần có hình vẽ minh họa để hỗ trợ việc tính toán và giải thích.

Nếu bạn có câu hỏi cụ thể hoặc cần hướng dẫn về một phần nào đó trong bài toán, hãy cho tôi biết!