Tìm giá trị nhỏ nhất: B = 3x ^ 2 + 5y ^ 2 + 6xy + 6x + 10y + 11

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm B = 3x^2 + 5y^2 + 6xy + 6x + 10y + 11, ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến.

Đầu tiên, chúng ta có thể biểu diễn hàm B dưới dạng ma trận:

Hàm B có thể viết lại thành:

\[ B = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 11 \]

Ta xét hàm B với hàm số bậc hai theo hai biến x và y. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta tính đạo hàm riêng của B theo x và y, và đặt chúng bằng 0:

1. Đạo hàm riêng theo x:

\[
\frac{\partial B}{\partial x} = 6x + 6y + 6 = 0
\]

2. Đạo hàm riêng theo y:

\[
\frac{\partial B}{\partial y} = 10y + 6x + 10 = 0
\]

Giải hệ phương trình này để tìm giá trị của x và y:

Từ phương trình thứ nhất, ta có thể rút x:

\[
6x + 6y + 6 = 0 \Rightarrow x + y + 1 = 0 \Rightarrow x + y = -1 \Rightarrow y = -1 - x
\]

Thay y vào phương trình thứ hai:

\[
10(-1 - x) + 6x + 10 = 0
\]

Giải phương trình này:

\[
-10 - 10x + 6x + 10 = 0 \Rightarrow -4x = 0 \Rightarrow x = 0
\]

Thay x = 0 vào phương trình y = -1 - x:

\[
y = -1 - 0 = -1
\]

Ta có nghiệm (x, y) = (0, -1).

Bây giờ ta tính giá trị của B tại (0, -1):

\[
B(0, -1) = 3(0)^2 + 5(-1)^2 + 6(0)(-1) + 6(0) + 10(-1) + 11
\]
\[
= 0 + 5 + 0 + 0 - 10 + 11 = 6
\]

Cuối cùng, để chắc chắn rằng đây là cực tiểu, ta cần kiểm tra định lý hàm bậc hai:

Công thức ma trận Hessian của B:

\[
H = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 10 \end{pmatrix}
\]

Tính định thức của H:

\[
\text{Det}(H) = (6)(10) - (3)(3) = 60 - 9 = 51 > 0
\]

Và H11 = 6 > 0. Do vậy, H là khả nghịch và hàm B có cực tiểu tại điểm (0, -1).

**Vậy, giá trị nhỏ nhất của B là 6.**