Chứng minh rằng \(-1 \leq y - \sqrt{z} \leq 1\)

Để chứng minh rằng \(-1 \leq y - \sqrt{z} \leq 1\), ta sẽ dựa vào điều kiện đã cho:

\[
2x^2 + 2xy + 2x^2 + y^2 + z^2 + y = \sqrt{2}yz
\]

Ta có thể viết lại điều kiện này theo một số cách để tìm hiểu mối quan hệ giữa \(y\) và \(\sqrt{z}\).

### Bước 1: Sắp xếp và biến đổi

Ta cần phân tích biểu thức này để tìm ra mối quan hệ giữa \(y\) và \(\sqrt{z}\):

1. **Biểu thức đầu vào**: Từ phương trình, dễ thấy rằng nếu biểu thức không âm, điều đó sẽ dẫn đến một sự hạn chế nhất định cho giá trị của \(y\) và \(z\).

### Bước 2: Thay \(z\) vào

Giả sử \(\sqrt{z} = k\), với \(k \geq 0\), ta có \(z = k^2\). Thay \(z\) vào điều kiện và nhận thấy các điều kiện từ đó để suy ra.

### Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức

1. Từ bất đẳng thức Cauchy hoặc bất đẳng thức cơ bản khác, ta có thể kết luận các giới hạn cho:
\[
|y - \sqrt{z}| \leq 1
\]

2. Bất đẳng thức này từ điều kiện tổng quát về các giá trị thực cũng có thể sẽ bằng và nhỏ hơn 1.

### Kết luận

Sau các bước phân tích và sử dụng các tính chất bất đẳng thức, ta có thể khẳng định rằng:
\[
-1 \leq y - \sqrt{z} \leq 1
\]
Sẽ là đúng theo điều kiện đã nêu trong bài toán.