Để chứng minh \( AC \) là tia phân giác của góc \( BCD \) và tìm điều kiện để tam giác \( BEF \) là tam giác cân, chúng ta làm theo các bước dưới đây:

### Phần a: Chứng minh \( AC \) là tia phân giác của góc \( BCD \)

1. **Thiết lập hình vẽ**: Đặt \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(0, b) \). Vì \( AB < AC \), ta có \( a < b \). Điểm \( D \) là điểm đối diện với \( A \) trên tia đối của đoạn thẳng \( AB \) và thỏa mãn \( AD = AB \).

2. **Tọa độ điểm D**: Do \( AD = AB = a \), điểm \( D \) có tọa độ: \( D(-a, 0) \).

3. **Tính góc BCD**:
- Vectơ \( \overrightarrow{CB} = (a - 0, 0 - b) = (a, -b) \).
- Vectơ \( \overrightarrow{CD} = (-a - 0, 0 - b) = (-a, -b) \).

4. **Tính góc BCD**:
- Vectơ \( \overrightarrow{AC} \) được xác định là \( (0 - 0, b - 0) = (0, b) \).
- Sử dụng công thức xác định phân giác góc, chúng ta cần xem xét các tỉ lệ của các vectơ.

5. **Tính đọ dài của các vectơ**:
- \( |CB| = \sqrt{a^2 + b^2} \) và \( |CD| = \sqrt{(-a)^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \).

6. **Áp dụng định lý phân giác**:
- Theo định lý phân giác:
\[
\frac{BC}{CD} = \frac{AB}{AD} \Rightarrow \text{ do } AD = AB, \text{ nên } BC = CD.
\]
- Do đó, \( AC \) chính là tia phân giác của \( \angle BCD \).

### Phần b: Điều kiện để tam giác \( BEF \) cân

Để tam giác \( BEF \) là tam giác cân, tức là \( BE = EF \).

1. **Xét các đoạn thẳng**:
- \( E \) là điểm trên cạnh \( AC \).
- \( F \) là điểm trên cạnh \( CD \).

2. **Điều kiện cần**:
- Tam giác \( ABC \) cần thỏa mãn một điều kiện nào đó về độ dài, cụ thể \( BE = EF \) sẽ được thỏa mãn khi \( AC = BC \).
- Do đó, điều kiện cần thiết để tam giác \( BEF \) cân là:

\[
\text{Tam giác } ABC \text{ là tam giác vuông cân tại } A, \text{ tức là } AB = AC.
\]

Hy vọng với các bước trên, bạn đã có thể hoàn thành bài chứng minh và hiểu rõ điều kiện cần thiết cho tam giác \( BEF \) là tam giác cân.