Để chứng minh các câu trong bài, ta cần dựa vào các tính chất của tam giác và các yếu tố trong hình học. Dưới đây là hướng dẫn từng bước cho từng ý.

### a) Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \)

1. **Cạnh chung**: \( AD \) là cạnh chung của cả hai tam giác.
2. **Cạnh bằng nhau**: Theo đề bài, \( AB = AC \).
3. **Góc vuông**: Ta có \( \angle ADB = \angle ADC = 90^\circ \) (do \( BD \) vuông góc với \( AB \) và \( CD \) vuông góc với \( AC \)).
4. **Sử dụng tiêu đề cạnh - góc - cạnh (c.g.c)**: Từ các yếu tố trên, ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad (c.g.c)
\]

### b) Chứng minh \( AD \) là tia phân giác của góc \( \angle A \)

Từ hai tam giác đã chứng minh ở mục (a), ta có:

1. **Góc bằng nhau**: Từ sự bằng nhau của hai tam giác, suy ra:
\[
\angle ABD = \angle ACD
\]
2. Như vậy, \( AD \) phân chia góc \( A \) thành hai góc bằng nhau, tức là \( AD \) là tia phân giác của \( \angle A \).

### c) Chứng minh \( AD \) là trung trực của \( BC \)

Để chứng minh \( AD \) là trung trực của \( BC \), ta cần chỉ ra rằng \( \text{DB} = \text{DC} \) và \( D \) nằm trên \( AD \).

1. Từ hai tam giác \( ABD \) và \( ACD \) đã chứng minh:
- \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \) suy ra \( DB = DC \).
2. Điểm \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).
3. Hơn nữa, ta biết rằng \( AD \) vuông góc với \( BC \) vì \( D \) là điểm chung của các đường vuông góc.

=> Do đó, \( AD \) là trung trực của \( BC \).

Kết luận, cả ba phần đều được chứng minh.