Để giải bài toán hình học về hình bình hành và các điểm liên quan, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng \( AP = PQ = QC \)

1. **Đặc điểm hình bình hành**: Trong hình bình hành ABCD, ta có các đặc điểm:
- \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Các đoạn chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại điểm \( O \), trung điểm của cả hai đoạn.

2. **Xác định tọa độ**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a + b, h) \), \( D(b, h) \).
- Trung điểm \( E \) của \( AD \) sẽ có tọa độ \( E\left(\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right) \).
- Trung điểm \( F \) của \( BC \) sẽ có tọa độ \( F\left(a + \frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right) \).

3. **Cắt nhau tại điểm nào?**:
- Đoạn \( BE \) và \( DF \) sẽ cắt nhau tại điểm \( P \) và điểm \( Q \) sẽ là hợp điểm của \( AC \) với \( DF \).
- Sử dụng định luật phân giác, ta có \( AP = PQ = QC \).

### b) Lấy \( M \) bất kỳ thuộc đoạn \( DC \). Gọi \( I, K \) theo thứ tự là các điểm đối xứng của \( M \) qua tâm \( E, F \). Chứng minh rằng \( I, K \) thuộc đường thẳng \( AB \).

1. **Tính tọa độ các điểm đối xứng**:
- Tọa độ \( M \) thuộc đoạn \( DC \) có thể nói là \( M(x_m, h) \).
- Điểm đối xứng \( I \) qua \( E \) sẽ là \( I(2E_x - x_m, 2E_y - h) \).
- Tương tự, điểm đối xứng \( K \) qua \( F \) sẽ có tọa độ được tính toán tương tự.

2. **Kiểm tra thuộc đường thẳng**:
- Ta cần chứng minh rằng cả hai điểm \( I \) và \( K \) đều nằm trên đường thẳng \( AB \).
- Đường thẳng \( AB \) có phương trình là \( y = 0 \) (trục hoành).
- Kiểm tra điều kiện \( I_y = 0 \) và \( K_y = 0 \).

### c) Chứng minh: \( AI + AK \) không đổi khi \( M \) di chuyển trên cạnh \( CD \).

1. **Xem xét sự biến thiên**: Khi \( M \) di chuyển trên \( DC \), tọa độ của \( M \) sẽ thay đổi nhưng các khoảng cách \( AI \) và \( AK \) sẽ vẫn không đổi do tính chất của sự đối xứng qua các điểm cố định \( E \) và \( F \).

2. **Áp dụng định lý**: Sử dụng lý thuyết về hình học vị trí, ta có thể thấy rằng tổng của \( AI + AK \) sẽ giữ nguyên giá trị nhờ vào tính chất đối xứng của hình bình hành và các điểm đối xứng.

Áp dụng từng bước trên sẽ giúp bạn hoàn thành các phần của bài toán một cách chính xác!