Để so sánh \( G \) với \( \frac{1}{9} \), chúng ta cần tính giá trị của \( G \).

Ta có:
\[
G = \sum_{n=10}^{200} \frac{1}{n(n+1)}
\]

Ta có thể biến đổi từng số hạng trong tổng này:
\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Với phép biến đổi này, chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng tổng sẽ rút gọn thành dạng dây chuyền (telescoping series):

\[
G = \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \right) + \left( \frac{1}{12} - \frac{1}{13} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{200} - \frac{1}{201} \right)
\]

Các số hạng sẽ hủy hết trừ hai số hạng đầu và cuối:
\[
G = \frac{1}{10} - \frac{1}{201}
\]

Tính giá trị cụ thể của \( G \):
\[
G = \frac{1}{10} - \frac{1}{201} = \frac{201}{2010} - \frac{10}{2010} = \frac{191}{2010}
\]

Tiếp theo, để so sánh \( G \) với \( \frac{1}{9} \), chúng ta cần đem \( \frac{1}{9} \) về cùng mẫu với \( G \):
\[
\frac{1}{9} = \frac{2010}{9 \times 2010} = \frac{223}{2010}
\]

Bây giờ, ta so sánh \( 191 \) và \( 223 \):
\[
191 < 223
\]

Kết luận, chúng ta có:
\[
G < \frac{1}{9}
\]

Vậy \( G \) nhỏ hơn \( \frac{1}{9} \).