Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a}{d} > \frac{b}{c} \) với các giả thiết \( a, b, c, d > 0 \), \( a > b \), và \( c > d \), ta sẽ bắt đầu từ các giả thiết đã cho:

1. Ta có \( a > b \), điều này nói lên rằng \( a - b > 0 \).
2. Ta có \( c > d \), điều này nói lên rằng \( c - d > 0 \).

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{d} > \frac{b}{c}
\]

Ta có thể biến đổi bất đẳng thức trên thành dạng sau:

\[
\frac{a}{d} - \frac{b}{c} > 0
\]

Tìm mẫu chung cho hai phân số:

\[
\frac{a}{d} - \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c - b \cdot d}{c \cdot d}
\]

Vì \( c, d > 0 \), ta chỉ cần chứng minh rằng \( a \cdot c - b \cdot d > 0 \):

\[
a \cdot c - b \cdot d > 0 \iff a \cdot c > b \cdot d
\]

Vì \( a > b \) nên ta có:

\[
a = b + (a - b)
\]

Do \( a > b \), ta có \( a - b > 0 \).

Với \( c > d \), tương tự ta có:

\[
c = d + (c - d)
\]

Do \( c > d \), ta có \( c - d > 0 \).

Bây giờ ta xét \( a \cdot c \):

\[
a \cdot c = a(d + (c - d)) > b(d + (c - d)) = b \cdot d + b(c - d)
\]

Để tiến xa hơn, ta cần xét xem \( a \cdot c - b \cdot d \) có lớn hơn 0 hay không.

Ta có:

\[
a \cdot c - b \cdot d = a \cdot d + a(c - d) - b \cdot d
\]

Hay viết lại:

\[
= (a - b) \cdot d + a(c - d)
\]

Rõ ràng, \( (a - b) \cdot d > 0 \) vì \( a - b > 0 \) và \( d > 0 \).

Như vậy, để kết thúc:

Vì \( a(c - d) > 0 \) (do \( a > 0 \) và \( c - d > 0 \)), chúng ta có:

\((a - b) \cdot d + a(c - d) > 0\)

Từ đó suy ra \( a \cdot c > b \cdot d \).

Kết luận, ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{d} > \frac{b}{c}
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{a}{d} > \frac{b}{c}
\]

Điều cần chứng minh đã hoàn thành.