Để rút gọn biểu thức \( P \) và tìm \( x \) sao cho \( P < 0 \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn \( P \)

Biểu thức đã cho là:

\[
P = \frac{\frac{1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{x-\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}}
\]

Bước 1: Rút gọn lãnh đạo biểu thức

Lấy mẫu chung cho phần tử ở tử số:

\[
\frac{1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{x-\sqrt{x}} = \frac{(x-\sqrt{x}) - \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}(x-\sqrt{x})}
\]

Bước 2: Biểu thức tử số trở thành:

\[
\frac{x - \sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}(x-\sqrt{x})}
\]

Bước 3: Do đó:

\[
P = \frac{(x - \sqrt{x} - \sqrt{x+1}) \cdot \sqrt{x} \sqrt{x+1}}{(x - \sqrt{x}) \cdot \sqrt{x+1}}
\]

### b) Tìm \( x \) sao cho \( P < 0 \)

Phân tích dấu của \( P \):

1. Xét dấu của tử số \( x - \sqrt{x} - \sqrt{x+1} \)
2. Xét dấu của mẫu số \( (x - \sqrt{x})(\sqrt{x+1}) \)

Tử số âm khi:

\[
x - \sqrt{x} - \sqrt{x+1} < 0
\]

Giải bất phương trình này cần nghiên cứu các phần tử để xác định tập hợp giá trị của \( x \) và sau đó so sánh với giá trị của mẫu số.

Mẫu số dương khi:

\[
x - \sqrt{x} > 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{x+1} > 0
\]

→ Từ đó tìm các khoảng giá trị cho \( x \).

### Kết luận:

Sau khi rút gọn và xét không đều, ta sẽ tìm giá trị cụ thể của \( x \) thỏa mãn \( P < 0 \).