Để giải bài toán, ta gọi số tự nhiên có hai chữ số là \( xy \), trong đó \( x \) là chữ số ở hàng chục và \( y \) là chữ số ở hàng đơn vị. Số này có thể biểu diễn là:

\[
N = 10x + y
\]

Khi đổi chỗ hai chữ số, số mới sẽ là:

\[
M = 10y + x
\]

Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:

1. \( M - N = 9 \)
2. \( M + N = 121 \)

Bắt đầu với điều kiện đầu tiên:

\[
(10y + x) - (10x + y) = 9
\]

Sắp xếp lại:

\[
10y + x - 10x - y = 9 \implies 9y - 9x = 9 \implies y - x = 1
\]

Từ đó, ta có:

\[
y = x + 1
\]

Tiếp theo, dùng điều kiện thứ hai:

\[
M + N = 121
\]

Thay \( M \) và \( N \) vào phương trình:

\[
(10y + x) + (10x + y) = 121
\]

Sắp xếp lại:

\[
10y + x + 10x + y = 121 \implies 11y + 11x = 121
\]

Rút gọn:

\[
11(x + y) = 121 \implies x + y = 11
\]

Giờ ta có hệ phương trình:

1. \( y = x + 1 \)
2. \( x + y = 11 \)

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[
x + (x + 1) = 11 \implies 2x + 1 = 11 \implies 2x = 10 \implies x = 5
\]

Thay \( x \) trở lại để tìm \( y \):

\[
y = x + 1 = 5 + 1 = 6
\]

Vậy số đã cho là \( 56 \).

### Kiểm tra:

- Số đã cho: \( 56 \)
- Số mới khi đổi chỗ: \( 65 \)
- Xác nhận điều kiện:
- \( 65 - 56 = 9 \) (đúng)
- \( 65 + 56 = 121 \) (đúng)

Vậy số đã cho là \( \boxed{56} \).