Tìm sô nguyên x, y sao cho: x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y

Để giải phương trình \( x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y \), chúng ta có thể viết lại phương trình này:

\[
x^2 + x - (y^4 + y^3 + y^2 + y) = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc 2 đối với \( x \). Để phương trình có nghiệm nguyên, hệ số trước \( x^2 \) là 1, hệ số trước \( x \) là 1 và hằng số là \( -(y^4 + y^3 + y^2 + y) \).

Sử dụng định lý Viète, chúng ta có được rằng điều kiện cần thiết để nghiệm là \( D = b^2 - 4ac \) (định thức của phương trình bậc 2) phải là một số chính phương (tức là một số tự nhiên là bình phương của một số nguyên):

\[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(y^4 + y^3 + y^2 + y)) = 1 + 4(y^4 + y^3 + y^2 + y) = 4y^4 + 4y^3 + 4y^2 + 4y + 1
\]

Đặt \( D = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên. Chúng ta cần tìm các giá trị của \( y \) sao cho \( D \) là một số chính phương.

Bây giờ ta thử với một vài giá trị của \( y \):

- Nếu \( y = 0 \):
\[
D = 4(0)^4 + 4(0)^3 + 4(0)^2 + 4(0) + 1 = 1 \quad (1^2 \text{ là một số chính phương})
\]
Giải phương trình \( x^2 + x = 0 \) cho \( x \):
\[
x(x + 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -1
\]
Vậy có nghiệm \( (x, y) = (0, 0) \) và \( (x, y) = (-1, 0) \).

- Nếu \( y = 1 \):
\[
D = 4(1)^4 + 4(1)^3 + 4(1)^2 + 4(1) + 1 = 4 + 4 + 4 + 4 + 1 = 17 \quad (17 \text{ không phải là chính phương})
\]

- Nếu \( y = -1 \):
\[
D = 4(-1)^4 + 4(-1)^3 + 4(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 4 - 4 + 4 - 4 + 1 = 1 \quad (1^2 \text{ là một số chính phương})
\]
Giải phương trình \( x^2 + x = 0 \) cho \( x \):
\[
x(x + 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -1
\]
Vậy có nghiệm \( (x, y) = (0, -1) \) và \( (x, y) = (-1, -1) \).

- Nếu \( y = 2 \):
\[
D = 4(2)^4 + 4(2)^3 + 4(2)^2 + 4(2) + 1 = 64 + 32 + 16 + 8 + 1 = 121 \quad (121 = 11^2 \text{ là một số chính phương})
\]
Giải phương trình \( x^2 + x = 70 \):
\[
x^2 + x - 70 = 0
\]
Tính định thức:
\[
D' = 1 + 4 \cdot 70 = 281 \quad (281 \text{ không phải là chính phương})
\]

Chúng ta có thể tiếp tục với nhiều giá trị của \( y \), tuy nhiên tới thời điểm này chúng ta đã tìm được các nghiệm nguyên cho \( (x, y) \) là:

\[
(0, 0), (-1, 0), (0, -1), (-1, -1)
\]

Tóm lại, nghiệm nguyên của phương trình là:
\[
\boxed{(0, 0), (-1, 0), (0, -1), (-1, -1)}
\]