Để giải bất phương trình

\[
\frac{x + 2}{x - 1} \leq \frac{x^2 - 2x}{x^2},
\]

ta thực hiện các bước sau:

1. **Đưa về cùng một mẫu**:
Tìm mẫu chung cho hai vế:

\[
\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{x^2 - 2x}{x^2} \leq 0.
\]

Ta sẽ đưa cả hai vế về mẫu \(x^2(x - 1)\):

\[
\frac{(x + 2)x^2 - (x^2 - 2x)(x - 1)}{x^2(x - 1)} \leq 0.
\]

2. **Rút gọn tử số**:
Tính giá trị tử số:

\[
(x + 2)x^2 - (x^2 - 2x)(x - 1) = (x + 2)x^2 - (x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x) = (x + 2)x^2 - (x^3 - x^2 + 2x).
\]

Kết quả sẽ là:

\[
= 2x^2 + 2 - x^3 + x^2 - 2x = -x^3 + 3x^2 - 2x + 2.
\]

3. **Giải bất phương trình**:
Ta cần giải

\[
-x^3 + 3x^2 - 2x + 2 \leq 0.
\]

Đây là một đa thức bậc 3. Ta tìm nghiệm của đa thức này bằng cách thử các giá trị nguyên:

- \(x = 1\):
\[
-1^3 + 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 2 \quad (\text{thỏa mãn } > 0)
\]

- \(x = 2\):
\[
-2^3 + 3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 0 \quad (\text{nghiệm})
\]

- \(x = 3\):
\[
-3^3 + 3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = -2 \quad (\text{thỏa mãn } < 0)
\]

4. **Xác định các khoảng**:
Ta có các nghiệm phân chia khoảng:

- Nghiệm \(x = 2\) và \(x = 3\) cho ta các khoảng: \((-\infty, 2)\), \((2, 3)\), và \((3, +\infty)\).

- Xét dấu trên từng khoảng:
- Khoảng \((-\infty, 2)\) (chọn \(x = 0\)): \(2 > 0\)
- Khoảng \((2, 3)\) (chọn \(x = 2.5\)): \(-0.375 < 0\)
- Khoảng \((3, +\infty)\) (chọn \(x = 4\)): \(-18 < 0\)

5. **Kết luận**:
Bất phương trình có nghiệm trong khoảng \([2, 3)\) và nên lưu ý trường hợp \(x \neq 1\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

\[
x \in [2, 3).
\]