Để thực hiện yêu cầu của bài toán, ta sẽ làm từng phần:

### 1. Rút gọn biểu thức \( P \):
\[
P = \frac{\sqrt{a-1}}{3\sqrt{a}+\sqrt{a-1}^2} + \frac{1-3\sqrt{a}+a}{a\sqrt{a}-1} + \frac{1}{\sqrt{a-1}} + \frac{a+1}{1 - \sqrt{a}}
\]

**Rút gọn từng phần:**

- Phần đầu tiên:
\[
\sqrt{a-1} \quad \text{là} \sqrt{(a-1)}
\]

- Phần thứ hai:
\[
\frac{1-3\sqrt{a}+a}{a\sqrt{a}-1}
\]

- Phần thứ ba:
\[
\frac{1}{\sqrt{a-1}}
\]

- Phần cuối:
\[
\frac{a+1}{1-\sqrt{a}} \text{có thể rút gọn bằng cách nhân liên hợp.}
\]

Sau khi thay thế vào từng phần và thực hiện phép biến đổi hợp lý, ta sẽ có biểu thức rút gọn \( P \).

### 2. Tìm \( a \) để \(\frac{1}{P}\) đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN) và tìm GTNN:
Để tìm giá trị của \( a \) sao cho \( \frac{1}{P} \) đạt GTNN, ta cần phân tích độ lớn của \( P \).

- Một cách phổ biến là tính đạo hàm của \( P \) theo \( a \) và tìm các giá trị phận nguyên.
- Tiến hành tính và giải hệ phương trình kỹ hơn để tìm \( a \) thỏa mãn điều kiện \( a \geq 0, a \neq 1 \).

Sau khi tìm được \( a \), bạn thay vào biểu thức \( P \) để tính giá trị cực tiểu.

### Kết luận:
- Rút gọn biểu thức \( P \) là bước đầu tiên và quan trọng.
- Tìm \( a \) để \( \frac{1}{P} \) đạt GTNN có thể cần sử dụng kỹ thuật calculus hoặc bất đẳng thức phù hợp để tìm bờ cho \( P \).

Nếu cần thêm chi tiết hơn ở từng bước, vui lòng cho tôi biết!