Để tính giá trị của biểu thức

\[
A = \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + \ldots + \frac{1}{1 + 2 + \ldots + 10}
\]

ta cần tính từng phần trong biểu thức:

1. Tổng các số từ 1 đến \( n \) được tính bằng công thức \( \frac{n(n+1)}{2} \).
2. Với \( n = 2, 3, \ldots, 10 \):

- \( 1 + 2 = 3 \)
- \( 1 + 2 + 3 = 6 \)
- \( 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \)
- \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \)
- \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \)
- \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 \)
- \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 \)
- \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 \)
- \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 \)

3. Thay các giá trị này vào biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{36} + \frac{1}{45} + \frac{1}{55}
\]

4. Để tính giá trị của \( A \), ta quy đồng mẫu số:

Khi tính toán sẽ dễ dàng hơn nếu sử dụng máy tính hoặc tính toán từng phần riêng biệt. Dưới đây là bảng tính cho từng phần:

- \( \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)
- \( \frac{1}{6} \approx 0.1667 \)
- \( \frac{1}{10} = 0.1 \)
- \( \frac{1}{15} \approx 0.0667 \)
- \( \frac{1}{21} \approx 0.0476 \)
- \( \frac{1}{28} \approx 0.0357 \)
- \( \frac{1}{36} \approx 0.0278 \)
- \( \frac{1}{45} \approx 0.0222 \)
- \( \frac{1}{55} \approx 0.0182 \)

5. Cộng các giá trị này lại:

\[
A \approx 0.3333 + 0.1667 + 0.1 + 0.0667 + 0.0476 + 0.0357 + 0.0278 + 0.0222 + 0.0182 \approx 0.847
\]

Do đó, giá trị cuối cùng của biểu thức là:

\[
A \approx 0.847
\]