Chúng ta có thể giải bài toán này theo các bước như sau:

a) **Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân:**

- Trong tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \), ta có \( AB = AC \).
- Theo điều kiện đã cho, \( AD = AE \), tức là đoạn thẳng \( DE \) là đoạn nối giữa hai điểm cách đều \( A \).
- Ta có hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACE \) với:
- \( AB = AC \) (do \( \triangle ABC \) cân)
- \( AD = AE \) (điều kiện đã cho)
- Góc \( \angle ABD = \angle ACE \) (do cả hai tam giác đều có chung góc \( A \))

Do đó, từ hai tam giác đồng dạng \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \), suy ra \( BD = CE \) và \( \angle ABD = \angle ACE \).

Vậy tứ giác \( BDEC \) có hai cạnh \( BD \) và \( CE \) bằng nhau, và hai góc \( \angle BDE \) và \( \angle CED \) bằng nhau, chứng tỏ rằng tứ giác \( BDEC \) là hình thang cân.

b) **Tính các góc của hình thang cân đó:**

- Ta có:
- \( \angle A = 50^\circ \)
- Vì \( \triangle ABC \) là tam giác cân tại \( A \), ta có:
- \( \angle B = \angle C \)

Do đó, \( \angle B + \angle C + \angle A = 180^\circ \), suy ra:
\[
\angle B + \angle C = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ
\]
Vì \( \angle B = \angle C \), ta có:
\[
2\angle B = 130^\circ \implies \angle B = \angle C = 65^\circ
\]

Trong hình thang cân \( BDEC \), ta có:
- \( \angle BDE = \angle CED \) (các góc ở hai đáy)
- Gọi \( \angle BDE = x \) và \( \angle CED = x \).

Vì tổng các góc trong tứ giác \( BDEC \) bằng \( 360^\circ \), ta có:
\[
x + x + \angle B + \angle C = 360^\circ
\]
Tức là:
\[
2x + 65^\circ + 65^\circ = 360^\circ
\]
\[
2x + 130^\circ = 360^\circ \implies 2x = 230^\circ \implies x = 115^\circ
\]

Từ đó, ta có:
- \( \angle BDE = \angle CED = 115^\circ \)

Tóm lại:
- Các góc của tứ giác \( BDEC \) là:
- \( \angle BDE = \angle CED = 115^\circ \)
- \( \angle B = \angle C = 65^\circ \)