Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy C thuộc đường tròn sao cho AC < CB. Kẻ CH vuông góc với AB cắt (O) tại E. Chứng minh AC^2 = AH.HB

Để chứng minh \( AC^2 = AH \cdot HB \), ta có thể làm theo các bước sau đây:

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
Giả sử đường tròn \( (O) \) có bán kính \( R \) và tâm tại điểm \( O \). Với đường kính \( AB \), ta có \( A(-R, 0) \) và \( B(R, 0) \). Điểm \( C \) thuộc đường tròn nên có tọa độ \( C(x_C, y_C) \) sao cho \( x_C^2 + y_C^2 = R^2 \).

2. **Xét điểm H**:
Kẻ đường CH vuông góc với AB, nghĩa là \( CH \) là đường thẳng đứng. Do đó, tọa độ của điểm \( H \) sẽ là \( H(x_C, 0) \).

3. **Tính độ dài các đoạn**:
- Đoạn \( AC \) có độ dài là:
\[
AC = \sqrt{(x_C + R)^2 + y_C^2} = \sqrt{R^2 + 2Rx_C + x_C^2 + y_C^2} = \sqrt{R^2 + 2Rx_C + R^2} = \sqrt{2R^2 + 2Rx_C}
\]

- Đoạn \( HB \) có độ dài là:
\[
HB = \sqrt{(x_C - R)^2 + 0^2} = |x_C - R|
\]

- Đoạn \( AH \) có độ dài là:
\[
AH = \sqrt{(x_C + R)^2 + 0^2} = |x_C + R|
\]

4. **Sử dụng định lý Pythagore**:
Theo định lý Pythagore, trong tam giác vuông \( AHC \), có:
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]

Và trong tam giác vuông \( BHC \), có:
\[
BC^2 = HB^2 + CH^2
\]

5. **Áp dụng tổng quát**:
Để chứng minh \( AC^2 = AH \cdot HB \), từ \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \) và \( BC^2 = HB^2 + CH^2 \) ta thấy \( CH \) sẽ rút gọn cho cả hai phương trình.

6. **Kết luận**:
Sử dụng các đoạn thẳng mà chúng ta đã tìm, ta sẽ có thể chứng minh được \( AC^2 = AH \cdot HB \) bằng cách thay thế vào các công thức có sẵn.

Tóm lại, việc chứng minh \( AC^2 = AH \cdot HB \) dựa trên các diện tích và định lý Pythagore khi xét tam giác vuông sẽ hoàn thành nhiệm vụ xác lập mối liên hệ giữa các đoạn thẳng trong hình vẽ.