Cho đa thức P và Q, chứng minh rằng: P và Q không thể cùng có giá trị âm

Đối với câu hỏi đầu tiên, chúng ta có đa thức \( f(x) \) với các điều kiện:

1. \( f(1) = 4 \)
2. \( f(3) = 14 \)

Ta cần chứng minh rằng \( f(x) \) không thể chia hết cho \( (x-1) + (x-3) = 2x - 4 \) và tìm dư của phép chia này.

Trước hết, ta có thể tính nghiệm của đa thức \( f(x) \) tại hai giá trị \( 1 \) và \( 3 \):

- Khi chia cho \( 2x - 4 \), tức là \( x - 2 \), chúng ta xét:

1. Giá trị \( f(2) \) sẽ là dư khi chia \( f(x) \) cho \( 2x - 4 \).

Để tìm giá trị \( f(2) \), từ \( f(1) \) và \( f(3) \), ta biết:

\[
f(1) = 4 \quad (1)
\]
\[
f(3) = 14 \quad (2)
\]

Bây giờ, ta xét đa thức bậc hai \( f(x) = a x^2 + b x + c \).

Ta dùng hai điểm \( (1, 4) \) và \( (3, 14) \) cho hai phương trình để tìm mối liên hệ giữa các hệ số.

Từ (1):
\[
a(1)^2 + b(1) + c = 4 \Rightarrow a + b + c = 4 \quad (3)
\]
Từ (2):
\[
a(3)^2 + b(3) + c = 14 \Rightarrow 9a + 3b + c = 14 \quad (4)
\]

Giải hai phương trình (3) và (4):

Từ (3) ta có \( c = 4 - a - b \). Thay vào (4):
\[
9a + 3b + (4 - a - b) = 14 \Rightarrow 8a + 2b = 10
\]
\[
4a + b = 5 \quad (5)
\]

Giờ ta sẽ tính giá trị tại \( x = 2 \):
\[
f(2) = 4a + 2b + c = 4a + 2b + (4 - a - b) = 3a + b + 4
\]
Từ (5), chúng ta có \( b = 5 - 4a \):
\[
f(2) = 3a + (5 - 4a) + 4 = -a + 9
\]

Giá trị \( f(2) \) có thể dương hoặc âm tùy vào giá trị của \( a \). Như vậy, không thể kết luận chính xác với những điều đã cho về giá trị âm.

---

Đối với câu hỏi thứ hai, ta cần chứng minh rằng hai đa thức \( P \) và \( Q \) không thể cùng có giá trị âm.

1. Đa thức \( P = 9x^2 - 7xy + 11y^2 \)
2. Đa thức \( Q = -4x^2 + 7xy - 6y^2 \)

Ta có thể tính giá trị của \( P \) và \( Q \) khi x và y đều dương:

- \( P = 9x^2 - 7xy + 11y^2 \)
- Xét việc tranh chấp của hệ số: \( 9x^2 \) và \( 11y^2 \) có thể cho giá trị dương lớn hơn giá trị âm từ \( -7xy \).

Xét các hệ số:
- Nếu \( x > 0 \) và \( y > 0 \) thì \( P \geq 0 \) và \( Q \geq 0 \) do các bậc 2 cũng như cách lựa chọn dấu.

Khi \( P \) âm, \( 9x^2 + 11y^2 < 7xy \). Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra vì \( x \) và \( y \) đều dương. Tương tự cho \( Q \).

Khi bạn thiết lập các trường hợp riêng rẽ, bạn có thể nhận ra rằng không thể có p < 0 và q < 0 cùng một lúc: Nếu một trong hai đa thức dương thì cái còn lại chắc chắn âm.

Kết luận rằng \( P \) và \( Q \) không thể cùng trị âm.