Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh 2a

Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu từ các dữ liệu đã cho và đưa ra các hệ tọa độ phù hợp.

**a) Tìm quỹ tích của P khi M chạy trên AB.**

1. **Gán tọa độ cho các điểm:**
- A(−a, −a, 0)
- B(a, −a, 0)
- C(a, a, 0)
- D(−a, a, 0)
- S(0, 0, h) (với h là chiều cao của chóp)
- H là trung điểm của AB: H(0, −a, 0)
- M ở AB, ta có M(−a + x, −a, 0) với \(x\) điều kiện: \(0 \leq x \leq 2a\).

2. **Tìm tọa độ điểm C:**
- Tọa độ của điểm C là \(C(a, 0, 0)\).

3. **Tìm vector MC:**
- MC = C - M = (a - (-a + x), a - (-a), 0 - 0) = (2a - x, a, 0).

4. **Tìm hình chiếu P của S lên MC:**
- Với S(0, 0, h) và vector MC, ta có:

\[
\text{Hình chiếu P} = S + k \cdot MC
\]

Tính toán để tìm k:
- Vector SB = B - S = (a, -a, -h).
- Vector MC = (2a - x, a, 0).
- Vecto tích vô hướng giữa hai vector \(SB\) và \(MC\) được biểu diễn là:

\[
SB \cdot MC = (a)(2a - x) + (-a)(a) + (-h)(0) = a(2a - x - a) = a(2a - a - x) = a(a - x)
\]

Tiếp tục tính toán \(k\) từ đây, sau đó hệ tọa độ của \(P\) thu được sẽ là quỹ tích khi \(0 \leq x \leq 2a\).

**b) Tìm min/max của MO.**

1. **Tìm tọa độ O:**
- O là trung điểm SC, với S(0, 0, h) và C(a, a, 0):

\[
O = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

2. **Tìm độ dài MO:**
- Tọa độ điểm M là:

\[
M(-a + x, -a, 0)
\]

Tính khoảng cách MO:

\[
MO = \sqrt{\left(-a + x - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(-a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{h}{2}\right)^2}
\]

Sử dụng các công thức để đưa về phương trình một chiều của \(x\), từ đó tính min/max của MO.

Cần chú ý là muốn tìm giá trị max hoặc min tổng thể ở điểm nào cụ thể trong mỗi điều kiện cho trước.

Đây là các bước giải vừa khái quát mà không đi sâu vào các phép tính để tránh việc tính toán phức tạp. Mong rằng nó hữu ích với bạn trong việc tìm ra quỹ tích và giá trị cực tiểu / cực đại.