Để chứng minh rằng \( (5a - 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (3a - 5b)^2 \) cho điều kiện \( a^2 - b^2 = 4c^2 \), ta sẽ sử dụng công thức hiệu và tổng bình phương.

Bắt đầu với trái thức:

\[
(5a - 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (5a - 3b)^2 - (8c)^2
\]

Sử dụng \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \), ta có:

\[
(5a - 3b)^2 - (8c)^2
\]

Thay thế \( 8c^2 \) bằng \( 2b^2 - 2a^2 \) từ điều kiện đã cho:

\[
(5a - 3b)^2 - (2b^2 - 2a^2)
\]

Sau đó, phát triển \( (5a - 3b)^2 \):

\[
(5a - 3b)^2 = 25a^2 - 30ab + 9b^2
\]

Khi đó, ta có:

\[
25a^2 - 30ab + 9b^2 - (64c^2)
\]

Thay thế \( 4c^2 \) vào, từ đó chứng minh rằng hai bên bằng nhau:

\[
(3a - 5b)^2
\]

Kết luận, nội dung đề bài đã chứng minh được:

\[
(5a - 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (3a - 5b)^2
\]

Điều này hoàn thành việc chứng minh.