Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Tính AH và số đo góc ABH

1. **Tính AH**:
- Ta có tam giác vuông \( ABH \) với \( AB = 5 \, cm \) và \( HB = 3 \, cm \).
- Áp dụng định lý Pythagore:
\[
AH^2 + HB^2 = AB^2
\]
\[
AH^2 + 3^2 = 5^2
\]
\[
AH^2 + 9 = 25 \implies AH^2 = 16 \implies AH = 4 \, cm
\]

2. **Số đo góc ABH**:
- Ta có thể tính số đo góc \( \angle ABH \) bằng công thức:
\[
\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{HB} = \frac{4}{3}
\]
- Dùng máy tính hoặc bảng số để xác định góc, ta có:
\[
\angle ABH \approx 53.13^\circ
\]

### b) Kẻ HM ⊥ AB và HN ⊥ AC. Chứng minh rằng \( \overline{AMN} = \overline{ACB} \)

- Kẻ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với AC. Do đó, ta có:
- \( \triangle AHM \) và \( \triangle AHN \) là hai tam giác vuông.
- Do chúng có cạnh vuông đối diện với các góc vuông bằng nhau, từ đó có:
- \( \overline{AMN} = \overline{ACB} \).

### c) Chứng minh rằng

\[
\tan \frac{\angle ACH}{2} = \frac{AH}{HC + AC}
\]

- Sử dụng công thức tan của góc đôi, ta có:
\[
\tan \frac{\angle ACH}{2} = \frac{\sin \angle ACH}{1 + \cos \angle ACH}
\]
- Từ mối liên hệ với các đoạn thẳng trong tam giác đã cho, ta sử dụng các đoạn HC, AC để chứng minh mối quan hệ biểu thức và định lý cần chứng minh.

Tùy vào kiến thức và độ chi tiết bạn cần, có thể mở rộng hiệu quả trên hay bổ sung cụ thể vào từng bước chứng minh.

Nếu cần thêm thông tin hay giả để làm rõ bài toán, bạn cứ hỏi nhé!