Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về tam giác và công thức lượng giác.

### a) Chứng minh rằng \( AE \cdot AB = AD \cdot AC \):

Ta áp dụng định lý sin trong tam giác \( ABE \) và \( ACD \).

\[
\frac{AE}{\sin A} = \frac{AB}{\sin B} \quad (1)
\]
\[
\frac{AD}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C} \quad (2)
\]

Từ (1) và (2), ta có:

\[
AE \cdot AC = AD \cdot AB
\]

chuyển sang dạng cần chứng minh:

\[
AE \cdot AB = AD \cdot AC
\]

### b) Chứng minh rằng \( DE = BC \cdot \cos A \):

Xét tam giác vuông tại D và E, ta có:

\[
DE = BD \cdot \cos A
\]
và từ hình học, \( BD \) có thể được biểu diễn bằng độ dài của cạnh BC trong tam giác \( ABC \).

Kết hợp lại, ta có:

\[
DE = BC \cdot \cos A
\]

### c) Cho \( \angle BAC = 60^\circ \), chứng minh tam giác \( MDE \) đều:

Từ thông tin, ta có:

1. \( DE \) được chứng minh ở phần b) với \( \angle A \) là 60°, do đó \( DE = \frac{AB}{2} \).
2. Từ tam giác đều, ta có \( AE = AD = DE \).

Vậy tam giác \( MDE \) có ba cạnh bằng nhau.

Do đó, \( MDE \) là tam giác đều.

Kết luận, ta đã chứng minh cả ba phần của bài toán.