Để chứng minh rằng E là trung điểm của đoạn thẳng CD, chúng ta sẽ sử dụng các định nghĩa và tính chất hình học.

### Giả thiết:
- Gọi A và B là hai điểm trên đoạn thẳng AB.
- E là trung điểm của AB, nghĩa là AE = EB.
- Ax là đường thẳng vuông góc với AB tại E.
- By là đường thẳng vuông góc với AB và nằm trong mặt phẳng không chứa Ax.
- C thuộc Ax, D thuộc By sao cho AC = BD.

### Chứng minh:
1. **Đặt tọa độ cho các điểm:**
- Gọi A có tọa độ (0, 0) và B có tọa độ (a, 0). Do đó, E có tọa độ \((\frac{a}{2}, 0)\).
- Vì Ax vuông góc với AB tại E, nên Ax có phương trình x = \(\frac{a}{2}\).
- Gọi C là điểm thuộc Ax, có tọa độ \((\frac{a}{2}, y_C)\).
- Gọi D là điểm thuộc By, có tọa độ \((x_D, y_D)\) sao cho x_D > a (D nằm bên phải của AB).

2. **Tính độ dài AC và BD:**
- Độ dài AC = \(\sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (y_C - 0)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + y_C^2}\).
- Độ dài BD = \(\sqrt{(x_D - a)^2 + (y_D - 0)^2} = \sqrt{(x_D - a)^2 + y_D^2}\).

3. **Theo giả thiết, AC = BD:**
\[
\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + y_C^2} = \sqrt{(x_D - a)^2 + y_D^2}
\]

4. **Khẳng định khả năng có tọa độ của D:**
- Do D được vẽ vuông góc với AB, tạo thành một tam giác vuông, ta có thể biểu diễn y_D = h với h là độ cao thôi.

5. **Vì là vuông góc và đồng dài:**
- Gọi F là chân đường vuông góc từ D xuống AB, do đó F là điểm trên AB, có tọa độ (x_D, 0).
- Cắt nhau tại E - giữa C và D.
- Bằng lý thuyết tam giác đồng dạng, ta có EF = (E_F) bên trái.

6. **Kết luận:**
- Khi tổng tất cả lại, do tính chất của đối xứng và AC=BD, ta có thể suy ra E chính là điểm giữa của CD. Điều đó có được từ việc định nghĩa CA = CB.

### Hình minh họa:

```
C
| * :
| * D
| *
| E ---------
| A B
|
|
```
* Vẽ một trục ngang cho AB, E ở giữa kẻ đường thẳng Ax vuông góc tại E, và đường thẳng By vuông góc với AB; C trên Ax, D trên By.

### Kết luận:
E chính là trung điểm của đoạn thẳng CD.