Cho tam giác \( ABC \), có \( AB = 9 \), và \( \hat{C} = 60^\circ \), \( \hat{B} = 70^\circ \). Tính cạnh \( BC, AC \) và bán kính đường tròn ngoại tiếp \( \triangle ABC \)

Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng định lý sin và công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

**Bước 1: Tính cạnh \(BC\) và \(AC\)**

Ta có:
- \(AB = c = 9\)
- \( \angle C = 60^\circ \)
- \( \angle B = 70^\circ \)

Trước tiên, ta tính \(\angle A\):
\[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 70^\circ - 60^\circ = 50^\circ
\]

Sử dụng định lý sin:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Với \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\):

Đặt \(BC = a\) và \(AC = b\),
\[
\frac{a}{\sin 50^\circ} = \frac{9}{\sin 60^\circ}
\]

Từ đó, ta có:
\[
a = 9 \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 60^\circ}
\]

Tiếp theo tính \(b\):
\[
\frac{b}{\sin 70^\circ} = \frac{9}{\sin 60^\circ}
\]
\[
b = 9 \cdot \frac{\sin 70^\circ}{\sin 60^\circ}
\]

**Bước 2: Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp**

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
\[
R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}
\]
Sử dụng \(c = 9\):
\[
R = \frac{9}{2 \sin 60^\circ} = \frac{9}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}
\]

**Tóm lại:**
- \(BC = 9 \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 7.78\)
- \(AC = 9 \cdot \frac{\sin 70^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 10.04\)
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R = 3\sqrt{3} \approx 5.2\).