Để giải bài toán tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) sao cho

\[
n^2 - 14n - 256 = k^2
\]

với \( k \) là một số tự nhiên, ta có thể biến đổi phương trình này:

\[
n^2 - 14n - k^2 - 256 = 0
\]

Phương trình trên là một phương trình bậc hai theo \( n \). Để có nghiệm tự nhiên, thì delta (\( \Delta \)) của phương trình này phải là một số chính phương. Delta được tính như sau:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-256 - k^2)
\]

\[
= 196 + 1024 + 4k^2
\]

\[
= 1220 + 4k^2
\]

Gọi \( \Delta = m^2 \) với \( m \) là một số tự nhiên. Từ đó, ta có hệ phương trình:

\[
m^2 - 4k^2 = 1220
\]

Đây là một phương trình dạng \( (m - 2k)(m + 2k) = 1220 \).

Bây giờ, ta sẽ tìm các cặp số hạng mà tích của chúng bằng 1220. Các ước số của 1220 là:

\[
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 61, 110, 122, 244, 305, 610, 1220
\]

Từ mỗi cặp ước số \( (d_1, d_2) \) với \( d_1 \cdot d_2 = 1220 \), ta giải được các giá trị của \( m \) và \( k \) bằng cách đặt:

\[
m - 2k = d_1,
\]
\[
m + 2k = d_2
\]

Giải hai phương trình trên, ta được:

\[
m = \frac{d_1 + d_2}{2}, \quad 2k = \frac{d_2 - d_1}{2} \Rightarrow k = \frac{d_2 - d_1}{4}
\]

Sau đó, ta sẽ thay thành \( n \) bằng cách sử dụng biểu thức:

\[
n = \frac{14 \pm m}{2}
\]

Chúng ta sẽ tính giá trị cho từng cặp ước số và kiểm tra xem \( n \) có phải số tự nhiên không.

Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi tìm được tất cả các giá trị của \( n \) thoả mãn bài toán. Tìm tất cả các cặp ước để có thể tổng hợp các giá trị \( n \).

Cuối cùng, theo dõi các giá trị \( n \) bạn tìm được để xác định nghiệm cuối cùng.