Để tìm các số tự nhiên \( n \) sao cho biểu thức

\[
(n^2 - 8)^2 + 36
\]

là số nguyên tố, ta làm theo các bước sau:

1. **Phân tích biểu thức**:
\[
(n^2 - 8)^2 + 36 = (n^2 - 8)^2 + 6^2
\]
Đây là một tổng của hai bình phương.

2. **Áp dụng định lý về số nguyên tố**: Biểu thức này chỉ có thể là số nguyên tố nếu \( (n^2 - 8)^2 \) có giá trị nhỏ. Khi \( n^2 - 8 \) lớn, biểu thức sẽ tăng nhanh và khó có khả năng là số nguyên tố.

3. **Thử nghiệm các giá trị của \( n \)**:

- **Khi \( n = 0 \)**:
\[
(0 - 8)^2 + 36 = 64 + 36 = 100 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]
- **Khi \( n = 1 \)**:
\[
(1 - 8)^2 + 36 = 49 + 36 = 85 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]
- **Khi \( n = 2 \)**:
\[
(2 - 8)^2 + 36 = 36 + 36 = 72 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]
- **Khi \( n = 3 \)**:
\[
(3 - 8)^2 + 36 = 25 + 36 = 61 \quad (\text{là số nguyên tố})
\]
- **Khi \( n = 4 \)**:
\[
(4 - 8)^2 + 36 = 16 + 36 = 52 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]
- **Khi \( n = 5 \)**:
\[
(5 - 8)^2 + 36 = 9 + 36 = 45 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]
- **Khi \( n = 6 \)**:
\[
(6 - 8)^2 + 36 = 4 + 36 = 40 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]
- **Khi \( n = 7 \)**:
\[
(7 - 8)^2 + 36 = 1 + 36 = 37 \quad (\text{là số nguyên tố})
\]
- **Khi \( n = 8 \)**:
\[
(8 - 8)^2 + 36 = 0 + 36 = 36 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]
- **Khi \( n = 9 \)**:
\[
(9 - 8)^2 + 36 = 1 + 36 = 37 \quad (\text{là số nguyên tố})
\]

4. **Tổng hợp kết quả**:
Các giá trị của \( n \) là:
- \( n = 3 \) dẫn đến số nguyên tố \( 61 \)
- \( n = 7 \) dẫn đến số nguyên tố \( 37 \)
- \( n = 9 \) dẫn đến số nguyên tố \( 37 \)

Như vậy, các giá trị của \( n \) cho biểu thức là số nguyên tố là \( n = 3, 7, 9 \).