Để giải phương trình nguyên \( x^2 + 2y = xy \), ta có thể biến đổi phương trình này như sau:

Đầu tiên, rearranging the terms:

\[
x^2 - xy + 2y = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai đối với \( x \). Áp dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp của chúng ta:

- \( a = 1 \)
- \( b = -y \)
- \( c = 2y \)

Thay vào công thức, ta có:

\[
x = \frac{y \pm \sqrt{(-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2y}}{2 \cdot 1}
\]

Đơn giản hóa:

\[
x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 8y}}{2}
\]

Điều này có nghĩa là để \( x \) là một số nguyên, biểu thức dưới căn bậc hai \( y^2 - 8y \) phải là một số chính phương. Gọi \( k^2 = y^2 - 8y \).

Ta có phương trình:

\[
y^2 - 8y - k^2 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình này:

\[
y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4k^2}}{2} = 4 \pm \sqrt{16 + k^2}
\]

Để \( y \) là một số nguyên, biểu thức \( \sqrt{16 + k^2} \) cũng phải là một số nguyên, gọi là \( m \):

\[
m^2 = 16 + k^2 \implies m^2 - k^2 = 16 \implies (m - k)(m + k) = 16
\]

Ta sẽ tìm các cặp \( (m - k, m + k) \) có thể là các ước số của 16: \( (1, 16), (2, 8), (4, 4), (-1, -16), (-2, -8), (-4, -4) \).

Từ đó, tính ra các giá trị của \( m \) và \( k \) và suy ra các giá trị của \( y \).

Sau khi tính toán cẩn thận cho từng cặp, ta sẽ có được các giá trị nguyên của \( y \) và từ đó, tính ra các giá trị tương ứng của \( x \).

Tóm lại, bạn sẽ cần tìm giải pháp từng bước cho từng cặp ước số, sau đó kiểm tra điều kiện cho \( x \) và \( y \) là nguyên.