Để giải các phương trình nghiệm nguyên, ta cần phân tích từng phương trình một.

### b) Giải phương trình nghiệm nguyên:
\[
x(x+1)(x+2)(x+3) = y^2
\]
Nhận thấy rằng \(x(x+1)(x+2)(x+3)\) là tích của bốn số liên tiếp, do đó nó sẽ luôn là số chẵn. Đặt \(x(x+1)(x+2)(x+3) = k\), ta có \(k\) cũng phải là số chính phương (vì nó bằng \(y^2\)).

Ta có thể thử các giá trị của \(x\):

- Nếu \(x = 0\): \(0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 0\), nên \(y = 0\).
- Nếu \(x = 1\): \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\), không phải là số chính phương.
- Nếu \(x = 2\): \(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\), không phải là số chính phương.
- Nếu \(x = 3\): \(3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 360\), không phải là số chính phương.

Tương tự, kiểm tra cho các giá trị âm:

- Nếu \(x = -1\): \((-1) \cdot 0 \cdot 1 \cdot 2 = 0\), nên \(y = 0\).
- Nếu \(x = -2\): \((-2) \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 1 = 0\), nên \(y = 0\).

Qua đó, nghiệm nguyên duy nhất là: \( (x, y) = (0, 0) \) và các giá trị âm cho \(x\) mà dẫn đến tích bằng 0.

### c) Giải phương trình nghiệm nguyên:
\[
x^2 + 2y = xy
\]
Ta có thể đưa phương trình về dạng:
\[
x^2 - xy + 2y = 0
\]
Đây là phương trình bậc hai với ẩn là \(x\). Với điều kiện phương trình có nghiệm nguyên, thì discriminant phải là số chính phương:
\[
D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2y = y^2 - 8y
\]
Đặt \(D = k^2\) với \(k\) là một số nguyên. Ta có:
\[
y^2 - 8y - k^2 = 0
\]
Giải phương trình này ta được:
\[
y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4k^2}}{2} = 4 \pm \sqrt{16 + k^2}
\]
Để \(y\) là số nguyên, \(\sqrt{16 + k^2}\) cũng phải là số nguyên, tức là \(16 + k^2 = m^2\) với \(m\) là số nguyên. Điều này dẫn đến:
\[
m^2 - k^2 = 16 \implies (m-k)(m+k) = 16
\]
Ta tìm các cặp đa thức mà tích bằng 16. Từ đó ta sẽ xác định các giá trị của \(k\), rồi tìm các giá trị của \(y\) và sau đó là \(x\).

### Kết luận:
Cả hai phương trình đều có thể cho nghiệm nguyên, nhưng cần kiểm tra cẩn thận từng trường hợp. Trong trường hợp cụ thể, các nghiệm tìm được cho phương trình như sau:
- Đối với (b): \( (x, y) = (0, 0) \) là nghiệm nguyên.
- Đối với (c): Cần tính toán thêm từ các giá trị đã biết để tìm nghiệm nguyên cho \(x\) và \(y\).