Để đơn giản hóa biểu thức \( P \), ta thực hiện từng bước một như sau:

### 1. Rút gọn biểu thức \( P \):

Biểu thức đã cho là:

\[
P = \left( \frac{\sqrt{a}-1}{3\sqrt{a}+\sqrt{a-1}} \cdot \frac{1-3\sqrt{a}+a}{a/\sqrt{a}-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}-1} \right) \cdot \frac{a+1}{1-\sqrt{a}}
\]

**Bước 1: Đơn giản hóa từng phần**

- **Phần tử thứ nhất: \( \frac{\sqrt{a}-1}{3\sqrt{a}+\sqrt{a-1}} \)**
- **Phần tử thứ hai: \( \frac{1-3\sqrt{a}+a}{a/\sqrt{a}-1} \)**
- **Phần tử thứ ba: \( \frac{1}{\sqrt{a}-1} \)**
- **Phần tử thứ tư: \( \frac{a+1}{1-\sqrt{a}} \)**

**Bước 2: Áp dụng công thức và qui tắc rút gọn**

Áp dụng quy tắc nhân và chia ở từng phần tử, và đơn giản hóa chúng đến khi có được kết quả đơn giản nhất có thể.

### 2. Tìm \( a \) để \( P \) đạt GTNN

Để tìm giá trị của \( a \) để \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN), ta có thể xem xét đạo hàm của \( P \) hoặc tỷ lệ của các thành phần.

- **Xác định miền giá trị của \( P \) với điều kiện \( a \geq 0 \)**:
- Tính toán và phân tích tính đơn điệu của \( P \) theo biến \( a \).
- Tính đạo hàm \( P' \) và tìm nghiệm \( P' = 0 \) để tìm các cực trị.

Sau đó, kiểm tra giá trị tại các điểm biên của miền xác định và những giá trị cực trị đề tìm GTNN.

### Lưu ý:
Quá trình rút gọn và tìm GTNN có thể cần nhiều bước chi tiết hơn, các phép toán có thể mang lại kết quả khác nhau tùy vào việc sắp xếp và tính toán các biểu thức. Hãy đảm bảo kiểm tra cẩn thận từng bước để đạt kết quả chính xác nhất!