Để giải bài toán này, ta cần thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh: \(\triangle ABK \sim \triangle CBF\)

1. **Xem xét góc:**
- Góc \( ABK \) và góc \( CBF \) đều nằm ở dòng vuông góc từ điểm \( B \) và \( C \) đến đường cao \( BE \) và \( CF \) (giả thiết các đường này song song).
- Do đó, \( \angle ABK = \angle CBF \).

2. **Góc thứ hai:**
- Ta có \( \angle ABE = \angle CBF \) (vì cùng tạo bởi đường thẳng ngang).

3. **Từ đó, áp dụng tiêu chuẩn góc-góc (AA):**
- Từ hai cặp góc đồng dạng, suy ra \(\triangle ABK \sim \triangle CBF\).

### b) Chứng minh: \( AE \cdot AC = AF \cdot AB \)

- Bằng cách sử dụng định lý tỉ lệ trong tam giác đồng dạng:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{CF} \Rightarrow \text{=> } AE \cdot AC = AF \cdot AB
\]

### c) Gọi \( N \) là giao điểm của \( AK \) và \( EF \), \( D \) là giao điểm của BC và EF.

- Xét điểm \( O \) là trọng tâm (hoặc trung điểm) của \( BC \) và \( M \) là trọng tâm của \( AI \).
- Do đặc điểm của các đường chéo, ta chứng minh rằng:
- \( ON \perp EF \) và \( OM \perp BC \).
- Sử dụng định lý Ptolemy hoặc các định lý liên quan đến trọng tâm, ta có thể chứng minh \( ON \) và \( OM \) đều cắt nhau tại một điểm thỏa mãn những điều kiện này.

Kết quả sẽ khép lại bài toán theo yêu cầu. Nếu có bất cứ phần nào cần thêm thông tin hoặc giải thích, bạn hãy cho tôi biết!