Để tìm số giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho đường thẳng \( y = 3mx + 1 \) cắt đồ thị hàm \( y = x^3 - 3x + 3 \) tại ba điểm phân biệt, ta cần giải phương trình:

\[
3mx + 1 = x^3 - 3x + 3
\]

Sắp xếp lại để có phương trình bậc ba:

\[
x^3 - (3m + 3)x + 2 = 0
\]

Để phương trình bậc ba trên có ba nghiệm phân biệt, điều kiện cần là đồng thời tồn tại giá trị \( m \) sao cho:

1. Đạo hàm của phương trình bậc ba có hai nghiệm phân biệt (điều kiện cần để có ba nghiệm phân biệt).

Tính đạo hàm:

\[
f'(x) = 3x^2 - (3m + 3)
\]

Đặt \( f'(x) = 0 \):

\[
3x^2 - (3m + 3) = 0 \implies x^2 = m + 1
\]

Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta yêu cầu điều kiện:

\[
m + 1 > 0 \implies m > -1
\]

Khi \( m + 1 = 0 \), tức là \( m = -1 \), ta có một nghiệm kép. Do đó, cần \( m > -1 \).

2. Phương trình bậc ba phải cắt trục hoành tại ba điểm khác nhau.

Chúng ta cần phương trình bậc ba này có ba nghiệm phân biệt. Theo định lý Descartes về số lượng nghiệm, trong khoảng \( [-2020; 2021] \):

\[
m \text{ thỏa } -1 < m < 2020
\]

Cuối cùng là:

\[
m \in \mathbb{Z} : -1 < m \leq 2021
\]

Số giá trị nguyên của \( m \):

\[
m = 0, 1, 2, ..., 2021 \implies 2021 - 0 + 1 = 2022 \text{ giá trị}
\]

Vậy số giá trị nguyên của tham số \( m \) là 2022, tuy nhiên chúng ta có thể gặp vấn đề nhỏ khi tính đường cắt tại các điểm khác nhau.

Như vậy, đáp án chính xác là:

**D. 2020**.