Để giải bài toán, ta cần xem xét hàm số \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) và điều kiện về cực trị tại \( x = 1 \) và \( x = 2021 \).

1. **Cực trị của hàm số**: Để hàm số đạt cực trị tại \( x = 1 \) và \( x = 2021 \), đạo hàm bậc nhất \( f'(x) \) phải có hai nghiệm là 1 và 2021. Do đó, ta có:
\[
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c.
\]
Đặt \( f'(x) = k(x - 1)(x - 2021) \) với \( k \) là hằng số.

2. **Phương trình \( f(x) = f(m) \)**: Phương trình này có thể viết lại dưới dạng:
\[
f(x) - f(m) = 0.
\]
Hàm bậc ba \( f(x) - f(m) \) sẽ có dạng:
\[
f(x) - f(m) = a(x^3 - m^3) + b(x^2 - m^2) + c(x - m).
\]
Phương trình này sẽ có ba nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu đồ thị hàm số \( f(x) \) cắt đường thẳng \( y = f(m) \) tại ba điểm khác nhau.

3. **Tìm giá trị của \( m \)**: Để phương trình \( f(x) = f(m) \) có ba nghiệm phân biệt, cần có 2 giá trị của \( f(m) \) nằm giữa hàm số trong nghiệm.

4. **Giới hạn của \( m \)**: Với \( f(1) \) và \( f(2021) \), ta cần tìm số nguyên \( m \) sao cho \( min(f(1), f(2021)) < f(m) < max(f(1), f(2021)) \).

### Tìm giá trị cụ thể:
- Giả sử \( f(1) < f(2021) \).
- Khoảng giá trị cho \( m \) là \( (1, 2021) \) tức là \( m = k \) với \( k \in \mathbb{Z} \) sao cho \( 1 < k < 2021 \).

### Số lượng giá trị nguyên có thể chọn:
- Số nguyên trong khoảng từ 2 đến 2020 là \( 2020 - 2 + 1 = 2019 \).

### Kết luận:
Vậy số nguyên \( m \) để phương trình \( f(x) = f(m) \) có ba nghiệm phân biệt là **2019**.

Do đó, đáp án là: **B. 2019**.