Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần A: Xác định tâm O và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Tam giác ABC với các cạnh:
- AB = 3
- AC = 4
- BC = 5

Đây là tam giác vuông tại A (bởi vì \(3^2 + 4^2 = 5^2\)).

**Tâm O của đường tròn ngoại tiếp:**
Trong trường hợp tam giác vuông, tâm O của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền (cạnh lớn nhất), tức là cạnh BC.

Tính toán vị trí của O:
- Gọi B(0, 0) và C(5, 0) (vì BC = 5 và BC nằm trên trục hoành)
- Tính tọa độ A:
\[
\text{Từ } AB = 3, AC = 4: A(x, y) \text{ thỏa 2 phương trình: }
\]
\[
x^2 + y^2 = 3^2 \quad \text{(1)}
\]
\[
(x - 5)^2 + y^2 = 4^2 \quad \text{(2)}
\]
Giải (1):
\[
x^2 + y^2 = 9
\]
Giải (2):
\[
(x - 5)^2 + y^2 = 16 \implies (x^2 - 10x + 25 + y^2 = 16) \implies x^2 + y^2 - 10x + 25 = 16
\]
Thay (1) vào (2):
\[
9 - 10x + 25 = 16 \implies -10x + 34 = 16 \implies 10x = 18 \implies x = 1.8
\]
Từ (1):
\[
(1.8)^2 + y^2 = 9 \implies 3.24 + y^2 = 9 \implies y^2 = 5.76 \implies y = 2.4
\]
Vậy A có tọa độ A(1.8, 2.4).

**Tâm O:**
Tâm O là trung điểm của BC:
\[
O\left( \frac{0 + 5}{2}, 0 \right) = O\left( \frac{5}{2}, 0 \right)
\]

**Bán kính R:**
Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp:
\[
R = \frac{a}{2 \sin A}
\]
Đối với tam giác vuông, bán kính R là nửa cạnh huyền (BC):
\[
R = \frac{5}{2} = 2.5
\]

### Phần B: Điểm D là điểm đối xứng của A qua BC, chứng minh D thuộc (O) và tính diện tích tam giác BCD

**Tính tọa độ D:**
Cạnh BC nằm trên trục hoành (y=0). Khi đó, để tìm điểm đối xứng A qua BC, chỉ cần đổi dấu tọa độ y của A:
\[
D(1.8, -2.4)
\]

**Chứng minh D thuộc đường tròn ngoại tiếp:**
Tâm O là \((\frac{5}{2}, 0)\) và bán kính là 2.5:
\[
OD^2 = \left(1.8 - \frac{5}{2}\right)^2 + (-2.4)^2
\]
Tính:
\[
1.8 - \frac{5}{2} = 1.8 - 2.5 = -0.7
\]
\[
OD^2 = (-0.7)^2 + (-2.4)^2 = 0.49 + 5.76 = 6.25
\]
Do \(R^2 = (2.5)^2 = 6.25\),
nên \(OD^2 = R^2\), suy ra D thuộc đường tròn ngoại tiếp.

**Tính diện tích tam giác BCD:**
Sử dụng công thức diện tích tam giác với 3 điểm B(0,0), C(5,0) và D(1.8, -2.4):
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
Áp dụng vào:
\[
S = \frac{1}{2} \left| 0(0 - (-2.4)) + 5((-2.4) - 0) + 1.8(0 - 0) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 5 \cdot (-2.4) \right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6
\]

### Kết luận:
(A) Tâm O là \(\left( \frac{5}{2}, 0 \right)\) và bán kính R = 2.5.
(B) Điểm D(1.8, -2.4) thuộc đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác BCD = 6.