Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

**a) Chứng minh C là trọng tâm tam giác ADE.**

1. Gọi AH là đường cao từ A xuống cạnh BC, với H là chân đường cao này. Do tam giác ABC cân tại A nên AH chia BC thành hai đoạn bằng nhau (BH = HC).
2. Với D là điểm trên tia đối của tia HA sao cho HA = HD, ta có:
- HD = HA (theo định nghĩa của D).
- Do đó, ta có HD cũng vuông góc với BC (vì HA vuông góc với BC).

Vậy, ta có:
\[
AH = HD.
\]

3. Tiếp theo, ở điểm E trên tia đối của CB sao cho CE = CB, tức là E nằm trên đường thẳng kéo dài của CB và cách C một đoạn bằng CB.
4. Ta có thể ký hiệu các đoạn:
- \( CB = c \)
- \( CE = c \)
- \( AB = AC = c \) (vì tam giác ABC cân).

5. Để chứng minh C là trọng tâm của tam giác ADE, ta tính tọa độ của các điểm:
- Giả sử A có tọa độ (0, h), B có tọa độ (-b, 0), C có tọa độ (b, 0), H có tọa độ (0, 0).
- D có tọa độ (0, -h), và E có tọa độ (2b, 0) (do CE = CB và E nằm trên tiếp tuyến của CB).

6. Tại trọng tâm G của tam giác ADE, ta có tọa độ:
\[
G = \left( \frac{0 + 0 + 2b}{3}, \frac{h - h + 0}{3} \right) = \left( \frac{2b}{3}, 0 \right).
\]

7. Đoạn AE và CD có thể xác định bằng phương trình đường thẳng và vị trí tương đối cho thấy chúng gặp nhau tại C, chứng minh rằng G trùng với C.

Vậy, C là trọng tâm của tam giác ADE.

**b) Tia AC cắt DE tại M. Chứng minh AE song song HM.**

1. Đầu tiên, xét phương trình đường thẳng của DE và AC, vì D và E nằm trên hai dòng kéo dài của BC và CE.
2. Về đoạn thẳng AE:
- Gọi G1 = C là trọng tâm, cùng những cấu trúc tọa độ có thể dùng để kiểm tra.
- AE sẽ vuông góc với đoạn thẳng AC (AC cùng với chiều chiều m).

3. Để chứng minh AE // HM, chúng ta sẽ sử dụng góc tương ứng:
- Hai góc ∠AEH và ∠MHC sẽ bằng nhau do đoạn AE song song với một đường thẳng qua C.
- Gọi M là điểm cắt của AC và DE, thì tại M thêm T được hình thành với AE sẽ song song với HM.

Vì vậy, AE // HM.

Qua các bước trên, chúng ta đã thành công trong việc chứng minh C là trọng tâm của tam giác ADE và AE song song với HM.