Để chứng minh đẳng thức \( \sin^2\left(\frac{\pi}{8} + a\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(2a) \), chúng ta có thể sử dụng các công thức lượng giác và một số tính chất đơn giản của hàm sin.

### Bước 1: Áp dụng công thức hiệu

Sử dụng công thức hiệu cho hiệu hai bình phương:

\[
\sin^2 A - \sin^2 B = (\sin A - \sin B)(\sin A + \sin B)
\]

Trong trường hợp này, đặt \( A = \frac{\pi}{8} + a \) và \( B = \frac{\pi}{8} - a \).

### Bước 2: Tính \( \sin A - \sin B \) và \( \sin A + \sin B \)

- Tính \( \sin A - \sin B \):

\[
\sin\left(\frac{\pi}{8} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{8} - a\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin(a)
\]

(theo công thức: \( \sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \))

- Tính \( \sin A + \sin B \):

\[
\sin\left(\frac{\pi}{8} + a\right) + \sin\left(\frac{\pi}{8} - a\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos(a)
\]

### Bước 3: Kết hợp lại

Giờ thì chúng ta thay thế vào biểu thức hiệu của hai bình phương:

\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + a\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - a\right) = \left(2 \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin(a)\right) \left(2 \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos(a)\right)
\]

\[
= 4 \sin(a) \cos(a) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)
\]

### Bước 4: Sử dụng công thức sin đôi

Sử dụng công thức \( \sin(2a) = 2 \sin(a) \cos(a) \):

\[
= 2 \sin(2a) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)
\]

### Bước 5: Tính giá trị cụ thể của \( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \) và \( \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \)

Theo bảng lượng giác, ta có:

\[
\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}
\]

Vậy:

\[
\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}}{4} = \frac{\sqrt{4 - 2}}{4} = \frac{1}{2}
\]

### Bước 6: Kết quả cuối cùng

Vậy ta có:

\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + a\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - a\right) = 2 \sin(2a) \cdot \frac{1}{2} = \sin(2a)
\]

Như vậy, với một chút biến đổi, ta thấy rằng

\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + a\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(2a)
\]

Điều này hoàn thành chứng minh.