Cho sin a+cos a=m . Có bao nhiêu giá trị dương của tham số m để sin 2a=-1/4

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến sin và cos.

Ta có:
\[
\sin a + \cos a = m
\]
Chúng ta sử dụng công thức:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]
Vì thế, từ \(\sin a + \cos a = m\), ta có thể bình phương cả hai vế:
\[
(\sin a + \cos a)^2 = m^2
\]
\[
\sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a = m^2
\]
Sử dụng \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\):
\[
1 + 2\sin a \cos a = m^2
\]
Ta biết rằng: \(\sin 2a = 2\sin a \cos a\), do đó:
\[
2\sin a \cos a = \frac{\sin 2a}{2}
\]
Vậy ta có:
\[
1 + \frac{\sin 2a}{2} = m^2
\]
Khi \(\sin 2a = -\frac{1}{4}\), ta thay vào phương trình:
\[
1 + \frac{-1}{4}{2} = m^2
\]
\[
1 - \frac{1}{4} = m^2
\]
\[
\frac{3}{4} = m^2
\]
Vậy ta kết luận:
\[
m = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Điều quan trọng là \(m\) phải dương, và vì \(\frac{\sqrt{3}}{2} > 0\), nên chỉ có **1 giá trị dương** của tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện đã cho.

Tóm lại, có **1 giá trị dương của tham số m** để \(\sin 2a = -\frac{1}{4}\).