Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm H, K sao cho AH = BK (H nằm giữa A và O, K nằm giữa B và O)

Để chứng minh rằng \( PH \perp PQ \) và \( QK \perp PQ \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Gọi tọa độ các điểm**:
- Gọi \( O \) là tâm của nửa đường tròn, \( A \) và \( B \) là các điểm trên đường kính, với \( OA = OB = R \).
- Xét điểm \( H \) trên \( AO \) và điểm \( K \) trên \( BO \) sao cho \( AH = BK \).

2. **Tính toán chiều dài các đoạn thẳng**:
- Gọi \( AH = BK = d \) (với \( d < R \)).
- Khi đó, \( OH = AO - AH = R - d \) và \( OK = OB - BK = R - d \).

3. **Vẽ các đường thẳng**:
- Vẽ đường thẳng từ \( H \) và \( K \) đến đường tròn (đặt cắt nhau tại \( P \) và \( Q \)).
- Từ phân tích trên, \( P \) và \( Q \) là các điểm cắt của đường thẳng qua \( H \) và \( K \) với nửa đường tròn.

4. **Chứng minh vuông góc**:
- Ta biết rằng đường kính luôn tạo thành góc vuông với bất kỳ đường thẳng nào kéo dài từ các điểm trên vòng tròn. Do đó, với điểm \( H \) và đường thẳng cắt tại \( P \) và \( Q \):
\[
PH \perp PQ
\]

- Tương tự cho điểm \( K \), ta cũng có:
\[
QK \perp PQ
\]

5. **Kết luận**:
- Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( PH \perp PQ \) và \( QK \perp PQ \).

Cách tiếp cận này sử dụng các tính chất hình học cơ bản của nửa đường tròn và quy luật nhất quán về hình học.