Để tính giá trị của biểu thức \( T = g(x_1) \cdot g(x_2) \), trước tiên, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình \( x^2 - x - 7 = 0 \).

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 1, b = -1, c = -7 \).

Tính delta (\( \Delta \)):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29
\]

Tìm nghiệm:
\[
x_1, x_2 = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}
\]

Tiếp theo, chúng ta tính giá trị của hàm \( g(x) = x^2 + x + 2 \). Đầu tiên, tính giá trị của \( g(x_1) \) và \( g(x_2) \):

1. Tính \( g(x_1) \):
\[
g(x_1) = x_1^2 + x_1 + 2
\]
Thay \( x_1 \):
\[
g(x_1) = \left(\frac{1 + \sqrt{29}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1 + \sqrt{29}}{2}\right) + 2
\]

Tính \( x_1^2 \):
\[
x_1^2 = \frac{(1+\sqrt{29})^2}{4} = \frac{1 + 2\sqrt{29} + 29}{4} = \frac{30 + 2\sqrt{29}}{4} = \frac{15 + \sqrt{29}}{2}
\]
Thay vào \( g(x_1) \):
\[
g(x_1) = \frac{15 + \sqrt{29}}{2} + \frac{1 + \sqrt{29}}{2} + 2 = \frac{15 + \sqrt{29} + 1 + \sqrt{29} + 4}{2} = \frac{20 + 2\sqrt{29}}{2} = 10 + \sqrt{29}
\]

2. Tương tự, tính \( g(x_2) \):
\[
g(x_2) = x_2^2 + x_2 + 2
\]
\[
g(x_2) = \left(\frac{1 - \sqrt{29}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1 - \sqrt{29}}{2}\right) + 2
\]

Tính \( x_2^2 \):
\[
x_2^2 = \left( \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \right)^2 = \frac{(1 - \sqrt{29})^2}{4} = \frac{1 - 2\sqrt{29} + 29}{4} = \frac{30 - 2\sqrt{29}}{4} = \frac{15 - \sqrt{29}}{2}
\]
Thay vào \( g(x_2) \):
\[
g(x_2) = \frac{15 - \sqrt{29}}{2} + \frac{1 - \sqrt{29}}{2} + 2 = \frac{15 - \sqrt{29} + 1 - \sqrt{29} + 4}{2} = \frac{20 - 2\sqrt{29}}{2} = 10 - \sqrt{29}
\]

3. Tính giá trị \( T \):
\[
T = g(x_1) \cdot g(x_2) = (10 + \sqrt{29})(10 - \sqrt{29}) = 10^2 - (\sqrt{29})^2 = 100 - 29 = 71
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là:
\[
\boxed{71}
\]