Để chứng minh \( A_1 \parallel C K \), ta sử dụng định lý về các góc so le trong.

**Bước 1: Xác định các góc.**

- Ta có:
- \( \angle A B C = 80^\circ \)
- \( \angle B C K = 50^\circ \)
- \( \angle A B I = 30^\circ \)

**Bước 2: Tính các góc khác trong tam giác.**

Theo định lý về tổng các góc trong tam giác, ta có:

\[
\angle A B K = 180^\circ - (\angle A B C + \angle B C K) = 180^\circ - (80^\circ + 50^\circ) = 50^\circ
\]

**Bước 3: Kiểm tra các góc so le.**

Chú ý rằng:
- \( \angle A B I = 30^\circ \)
- \( \angle A B K = 50^\circ \)

Ta nhận thấy rằng:

\[
\angle A B I + \angle A B K = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ
\]

Góc \( \angle A B C \) (80°) và \( \angle A B K \) (50°) là góc so le trong.

**Bước 4: Kết luận.**

Vì \( \angle A B C + \angle B C K = 80^\circ + 50^\circ = 130^\circ \) (góc kề bù), nên ta có thể kết luận rằng:

\[
A_1 \parallel C K
\]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( A_1 \parallel C K \).