Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về hình thang cân ABCD, ta làm như sau:

### a) Chứng minh \( OA = OB = OC \)

1. **Ký hiệu các điểm**: Gọi \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

2. **Tính chất của hình thang cân**: Trong hình thang cân \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \):
- Các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại \( O \) sẽ chia mỗi đường chéo thành hai đoạn thẳng tương ứng với tỉ lệ bằng nhau. Do đó, có:
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}
\]

3. **Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau**:
- Vì \( AB \parallel CD \) và \( OA \) và \( OC \) là hai đoạn thẳng cắt nhau, theo tính chất của hình thang cân, ta có \( OA = OC \) và \( OB = OD \).
- Do đó, từ \( \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} \) cùng với \( OA = OC \) và \( OB = OD \), ta suy ra \( OA = OB = OC \).

### b) Chứng minh rằng \( E \) là đường trung trực của hai đáy hình thang \( ABCD \)

1. **Đường trung trực**: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó và vuông góc với đoạn thẳng đó.

2. **Điểm \( E \)**: Gọi \( E \) là giao điểm của hai đường chứa cạnh bên \( AD \) và \( BC \) của hình thang cân \( ABCD \).

3. **Kiểm tra tính chất trung trực**: Ta cần chứng minh rằng:
- \( EA = EB \) và \( EC = ED \).
- Bởi vì \( AB \parallel CD \) và \( E \) nằm trên đường trung trực giữa hai đáy này, nên \( E \) sẽ có khoảng cách bằng nhau từ \( A \) đến \( B \) và từ \( C \) đến \( D \).

4. **Kết luận**: Do đó, điểm \( E \) chính là điểm thuộc đường trung trực của các đoạn thẳng \( AB \) và \( CD \).

### Tóm lại:
- \( OA = OB = OC \)
- \( E \) là đường trung trực của hai đáy hình thang \( ABCD \).

Nếu có bất kỳ phần nào cần làm rõ hơn, xin hãy cho biết!