Giải bất phương trình

Để giải bất phương trình:

\[
\frac{x - \sqrt{x} - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} - \sqrt{2(x^2 - 3x + 4)}} \geq 1
\]

ta thực hiện các bước sau:

1. **Giải bất phương trình**:

Ta bắt đầu bằng cách đưa tất cả về một vế:

\[
\frac{x - \sqrt{x} - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2} - \sqrt{2(x^2 - 3x + 4)}} - 1 \geq 0
\]

2. **Điều kiện xác định**:

- Tử số \( x - \sqrt{x} - \frac{1}{2} \) phải lớn hơn hoặc bằng 0.
- Mẫu số \( \frac{3}{2} - \sqrt{2(x^2 - 3x + 4)} \) phải khác 0 và cũng phải dương.

3. **Giải từng phần**:

**Tử số**:

\[
x - \sqrt{x} - \frac{1}{2} \geq 0
\]

Giải bất phương trình này:

- Giả sử \( y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2 \).
- Thay vào bất phương trình:

\[
y^2 - y - \frac{1}{2} \geq 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 2}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}
\]

Tính \( y_1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \) và \( y_2 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \).

Chọn khoảng nghiệm và giải lại về \( x \).

**Mẫu số**:

Xét điều kiện:

\[
\frac{3}{2} - \sqrt{2(x^2 - 3x + 4)} > 0
\]

Giải quyết:

\[
x^2 - 3x + 4 < \frac{9}{8}
\]

Lập phương trình bậc hai và giải.

4. **Gộp các điều kiện**:

Kết hợp tất cả các điều kiện và giải bất phương trình.

Cuối cùng, viết ra khoảng nghiệm \( x \) thỏa mãn tất cả các điều kiện đã tìm được.