Để chứng minh tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành và sau đó là hình thoi, ta sẽ tiến hành theo từng bước.

### a) Chứng minh tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành

Ta có hình bình hành \(ABCD\) với các đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại điểm \(O\).

1. Đường thẳng \(m\) đi qua \(O\) cắt \(AB\) tại điểm \(M\) và cắt \(CD\) tại điểm \(P\).
2. Đường thẳng \(n\) cũng đi qua \(O\) và vuông góc với đường thẳng \(m\), cắt \(AC\) tại điểm \(N\) và cắt \(BD\) tại điểm \(Q\).
3. Ta cần chứng minh rằng \(MN \parallel PQ\) và \(MP \parallel NQ\).

**Chứng minh \(MN \parallel PQ\):**
- Vì \(O\) nằm trên cả hai đường chéo \(AC\) và \(BD\), và do \(AB \parallel CD\) (tính chất của hình bình hành), nên nếu ta gọi \(MN\) là đường nối hai điểm trên \(AB\) và \(CD\), thì:
- Góc \(MOB = Góc POC\) (góc đối đỉnh)
- Góc \(MOP = Góc POD\) (góc đối đỉnh)

Do đó, \(MN \parallel PQ\).

**Chứng minh \(MP \parallel NQ\):**
- Tương tự, vì \(n\) vuông góc với \(m\), ta có góc \(MOQ = Góc MOP\) và \(MON = Góc PON\). Điều này dẫn đến:
- \(MP \parallel NQ\)

Với hai cặp cạnh đối song song \(MN \parallel PQ\) và \(MP \parallel NQ\), ta khẳng định rằng tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi

Để chứng minh tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi, ta cần chứng minh rằng tất cả các cạnh đều bằng nhau, tức là \(MN = MP = NP = PQ\).

1. **Xét độ dài của các đoạn thẳng:**
- Vì \(n\) vuông góc với \(m\) và cắt hai đường chéo \(1\) và \(2\) tại \(N\) và \(Q\), độ dài của các đoạn thẳng tạo thành các góc vuông đều bằng nhau.

2. **Sử dụng tính chất của hình bình hành:**
- Từ tính chất hình bình hành, ta biết rằng các đoạn thẳng \(MP\) và \(NQ\) là các đoạn vuông góc với nhau.

Vì vậy, ta có các cặp cạnh này có chiều dài bằng nhau nên \(MNPQ\) là hình thoi.

### Kết luận
Từ hai bước chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác \(MNPQ\) vừa là hình bình hành vừa là hình thoi, hoàn toàn thuyết phục với các bất đẳng thức về đoạn thẳng.