Để chứng minh rằng \( EG \parallel AB \) trong tam giác \( ABC \) có trọng tâm \( G \), với \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( N \) là trung điểm của \( AM \), ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm và các tỷ lệ của đoạn thẳng.

### Bước 1: Xác định vị trí các điểm

- Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \), tức là \( BM = MC \).
- Gọi \( N \) là trung điểm của \( AM \), tức là \( AN = NM \).
- Đặt \( E \) là giao điểm của hai đường thẳng \( BN \) và \( AC \).

### Bước 2: Sử dụng tính chất của trọng tâm

Trọng tâm \( G \) chia mỗi về của tam giác theo tỷ lệ \( 2:1 \). Tức là:
- \( AG:GB = 2:1 \)
- \( BG:GC = 2:1 \)
- \( CG:GA = 2:1 \)

### Bước 3: Sử dụng định lý Thales

Ta sẽ sử dụng định lý Thales trong tam giác \( ABN \):
- Vì \( N \) là trung điểm của \( AM \) nên \( AN = NM \).
- Do đó, \( BN \) chia \( AC \) thành hai đoạn theo tỷ lệ \( AN:NC \).

### Bước 4: Chứng minh \( EG \parallel AB \)

Bây giờ ta xem xét tam giác \( ABG \). Ta có:

- \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \), tức là chia \( AM \) theo tỷ lệ \( 2:1 \).
- Với đoạn \( EG \) song song với \( AB \), theo định lý Thales, \( \frac{EG}{AB} = \frac{AE}{AC} \).

### Kết luận

Vì vậy, do tính chất của trọng tâm và định lý Thales, ta có \( EG \parallel AB \) trong tam giác \( ABC \).

Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
EG \parallel AB
\]

Chứng minh hoàn tất.