Để giải bài toán liên quan đến hình chóp tam giác đều, ta có các thông tin sau:

- Gọi cạnh đáy là \(a\) và cạnh bên là \(b\).
- Theo đề bài, \(a = b = 6 \text{ cm}\).

Ta sẽ tính:

### a) Tính trung đoạn của hình chóp

Trung đoạn trong hình chóp là đoạn nối trung điểm của một cạnh đáy với đỉnh chóp (O). Đầu tiên, ta cần tìm chiều cao của tam giác đều đáy ABC với cạnh đáy \(a\).

Chiều cao h của tam giác đều với cạnh \(a\) được tính bằng công thức:

\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
\]

Thay \(a = 6\) vào công thức:

\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \text{ cm}
\]

Trung điểm của cạnh đáy AB là \(M\). Để tìm trung đoạn OM, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tìm chiều cao SO của hình chóp sau. Trung đoạn OM được tính bằng độ dài từ điểm S đến điểm M.

### b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp

Diện tích xung quanh của hình chóp bằng một nửa chu vi đáy nhân với độ dài cạnh bên.

Đầu tiên, tính chu vi của tam giác đáy \(ABC\):

\[
P = 3a = 3 \times 6 = 18 \text{ cm}
\]

Diện tích xung quanh \(A_{xq}\) tính theo công thức:

\[
A_{xq} = \frac{1}{2} \times P \times b
\]

Ở đây \(b = 6\):

\[
A_{xq} = \frac{1}{2} \times 18 \times 6 = 54 \text{ cm}^2
\]

### c) Tính chiều cao SO của hình chóp

Tính chiều cao SO bằng định lý Pythagoras trong tam giác SOP.

Chiều dài cạnh bên \(SO\) là \(6\) cm và chiều cao đáy \(AM\) theo chiều cao tam giác đều đã tính là \(\frac{a\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\) cm.

Áp dụng định lý Pythagoras:

\[
SO^2 + (AM)^2 = (b)^2
\]

Gọi \(SO = h\) và \(AM = 2\sqrt{3}\):

\[
h^2 + (2\sqrt{3})^2 = 6^2
\]

\[
h^2 + 12 = 36 \implies h^2 = 24
\]

\[
h = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ cm}
\]

### d) Tính thể tích của hình chóp

Thể tích \(V\) của hình chóp tam giác đều được tính bằng công thức:

\[
V = \frac{1}{3} A_{base} \cdot h
\]

Trong đó \(A_{base}\) là diện tích đáy. Diện tích đáy \(ABC\) (tam giác đều) là:

\[
A_{base} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

Giờ chúng ta tính thể tích:

\[
V = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 2\sqrt{6} = 6\sqrt{3} \sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 18\sqrt{2} \text{ cm}^3
\]

### Tổng hợp kết quả

- a) Trung đoạn của hình chóp: \(OM\) không được tính cụ thể do cần thêm chiều cao.
- b) Diện tích xung quanh: \(54 \text{ cm}^2\).
- c) Chiều cao \(SO = 2\sqrt{6} \text{ cm}\).
- d) Thể tích của hình chóp: \(18\sqrt{2} \text{ cm}^3\).

Hy vọng giải đáp này có ích cho bạn!