Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a. Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

- **Trung điểm E của AH:** Do H nằm trên đường chéo AC, ta có:
\[
AE = EH
\]

- **Trung điểm F của BH:** Tương tự, với H nằm trên đường thẳng vuông góc với AC, ta có:
\[
BF = FH
\]

- **Trung điểm G của CD:** Bởi vì C và D là hai đỉnh của hình chữ nhật, nên:
\[
CG = GD
\]

Bây giờ, xét các cặp cạnh đối diện:

- Cặp cạnh EG và CF:
- Vì E là trung điểm của AH và G là trung điểm của CD, nên:
\[
EG = \frac{1}{2} AH \quad \text{và} \quad CF = \frac{1}{2} BH
\]

Như vậy, chúng ta có
\[
EG \parallel CF
\]

- Tương tự xét cạnh EF và CG:
- Từ vị trí của trung điểm G, ta có:
\[
EF = FH
\]

Kết luận rằng EFCG có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, nên EFCG là hình bình hành.

### b. Chứng minh ˆBEG = 90.

Gọi O là giao điểm của đường chéo AC. Theo định nghĩa, H là điểm mà đường thẳng vuông góc với AC tại B cắt AC tại H. Do đó, góc ∠BEA là góc vuông (90°).

Ta có:
- Các đường nối BH và BG vuông góc với AC tại H (theo định nghĩa)
- Do đó, căn cứ vào các đường thẳng vuông góc, chúng ta thấy rằng BE vuông góc với BG.

Như vậy, ta có
\[
\angle BEG = 90^\circ
\]

### c. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Cho biết BH = 4 cm và ˆB A C = 30°.

Ta xác định chiều dài AB (cạnh dài của hình chữ nhật) bằng cách sử dụng định nghĩa của lượng này cùng với tam giác BAH.

Xét tam giác BAH trong đó:

- BH = 4 cm
- ˆBAC = 30° (một góc của hình chữ nhật)

Áp dụng định nghĩa về sin để tìm chiều dài AB

\[
\sin(30^\circ) = \frac{opposite}{hypotenuse} \implies \sin(30^\circ) = \frac{AH}{AB}
\]

Với \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \):

\[
\frac{1}{2} = \frac{AH}{AB} \implies AH = \frac{1}{2} AB
\]

Vì BH vuông góc với AC và AC cũng là đường chéo của hình chữ nhật, ta có chiều dài AC bằng:

\[
AC = \sqrt{AB^2 + CD^2} = \sqrt{AB^2 + AB^2} = AB\sqrt{2}
\]

Ba cạnh của hình chữ nhật là:
- \( AB = 2BH = 2 \times 4 = 8 \, cm \)
- Chiều dài cạnh CD bằng chiều dài cạnh AB.

Diện tích hình chữ nhật ABCD được tính như sau:

\[
S_{ABCD} = AB \times BC = 8 \times 8 = 64 \, cm^2
\]

Do đó, diện tích hình chữ nhật ABCD là:

\[
\boxed{64 \, cm^2}
\]