Để giải bài toán, chúng ta sẽ bắt đầu từ những điều kiện đã cho:

\[ a^2 + 3a = 2 \]
\[ b^2 + 3b = 2 \]

Chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này để tìm giá trị của \( a \) và \( b \). Đưa phương trình về dạng chuẩn:

\[
a^2 + 3a - 2 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1\), \( b = 3\), và \( c = -2\), ta có:

\[
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17
\]

Vì vậy, nghiệm là:

\[
a = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}
\]

Tương tự, với \( b \):

\[
b = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}
\]

Chọn hai nghiệm khác nhau:

\[
a_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \quad a_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị biểu thức \( B = a^3 + b^3 \).

Sử dụng công thức:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Ta cần tìm \( a + b \) và \( ab \) trước.

Tính tổng và tích của \( a \) và \( b \):

1. **Tính \( a + b \):**
\[
a + b = a_1 + a_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} + \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} = \frac{-6}{2} = -3
\]

2. **Tính \( ab \):**
\[
ab = a_1 \cdot a_2 = \left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}\right)\left(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}\right) = \frac{(-3)^2 - (\sqrt{17})^2}{4} = \frac{9 - 17}{4} = \frac{-8}{4} = -2
\]

3. **Tính \( a^2 + b^2 \):**
\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (-3)^2 - 2(-2) = 9 + 4 = 13
\]

Bây giờ, ta tính \( a^2 - ab + b^2 \):

\[
a^2 - ab + b^2 = a^2 + b^2 - ab = 13 - (-2) = 13 + 2 = 15
\]

Cuối cùng, tính giá trị của \( B \):

\[
B = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (-3)(15) = -45
\]

Vậy giá trị biểu thức \( B \) là:

\[
\boxed{-45}
\]