Cho tam giác ABC đều, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ (M ≠ B,C). Từ M kẻ MP, MQ lần lượt vuông góc với AB, AC (với P ∈ AB, Q ∈ AC). Chứng minh rằng:

Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều cũng như một số phép biến hình và định lý trong hình học.

**a) Chứng minh \( \angle BMP = \angle CMQ = 30^\circ \):**

1. Xét tam giác đều \( ABC \), ta có \( \angle ABC = \angle ACB = 60^\circ \).
2. Khi kẻ đường vuông góc \( MP \) từ \( M \) đến \( AB \) và \( MQ \) từ \( M \) đến \( AC \), ta có \( \angle BMP = 90^\circ - \angle ABM \) và \( \angle CMQ = 90^\circ - \angle ACM \).
3. Xét tam giác \( ABM \) và \( ACM \):
- \( AB = AC \) (cạnh của tam giác đều).
- Khi \( M \) di chuyển trên cạnh \( BC \), góc \( ABM \) và góc \( ACM \) đều thay đổi nhưng giữ nguyên tổng \( \angle ABM + \angle ACM = 60^\circ \).
4. Do đó, ta có:
\[
\angle BMP + \angle CMQ = 90^\circ - \angle ABM + 90^\circ - \angle ACM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.
\]
5. Từ đó, suy ra \( \angle BMP = \angle CMQ = 30^\circ \).

**b) Chứng minh \( BP + CQ = \frac{1}{2} BC \) và \( MP + MQ = AH \):**

1. Gọi \( d = BC \), vì \( M \) là điểm bất kỳ trên \( BC \), nên đặt \( BP = x \) và \( CQ = y \). Ta có \( x + y = d \).
2. Xét đoạn thẳng \( AH \) là đường cao, ta có độ dài đường cao của tam giác đều \( ABC \) là \( AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \times d \).
3. Theo định lý Pythagore trong tam giác \( ABM \) và \( ACM \), ta có:
- \( MP = AB \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} d \), và
- \( MQ = AC \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} d \).
4. Vậy \( MP + MQ = \frac{1}{2} d + \frac{1}{2} d = d = AH \).

**c) Chứng minh \( \sin \angle BAM + \sin \angle CAM \leq 1 \):**

1. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản trong lượng giác:
\[
\sin \angle BAM + \sin \angle CAM \leq \sin \max(\angle BAM, \angle CAM) + \sin \min(\angle BAM, \angle CAM) = 1.
\]

**d) Chứng minh \( OH \perp LPQ \):**

1. \( H \) là giao điểm của đường cao, do đó, \( OH \) vuông góc với cả \( AB \) và \( AC \).
2. Vì \( P \) là điểm trên \( AB \) và \( Q \) là điểm trên \( AC \), nên \( LPQ \) sẽ nằm trên một mặt phẳng vuông góc với \( OH \).
3. Từ đó, suy ra \( OH \perp LPQ \).

Tóm lại, ta đã chứng minh tất cả các yêu cầu của bài toán.