Để tìm chu kỳ tuần hoàn của các hàm số, ta sẽ phân tích từng hàm:

a) \( y = \cot 2x \)
- Chu kỳ của \( \cot x \) là \( \pi \). Với \( \cot 2x \), chu kỳ sẽ là:
\[
T = \frac{\pi}{2}
\]

b) \( y = 2 \tan \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \)
- Chu kỳ của \( \tan x \) là \( \pi \). Với \( \tan(2x) \), chu kỳ sẽ là:
\[
T = \frac{\pi}{2}
\]

c) \( y = \cos^2 x - 1 \)
- Hàm \( \cos x \) có chu kỳ là \( 2\pi \). Hàm \( \cos^2 x \) có chu kỳ là:
\[
T = \pi
\]
- Do đó, chu kỳ của \( y = \cos^2 x - 1 \) cũng là \( \pi \).

d) \( y = \sin 2x \cdot \cos 2x \)
- Sử dụng công thức: \( \sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin(4x) \).
- Chu kỳ của \( \sin 4x \) là:
\[
T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}
\]

Tóm lại:
1. \( y = \cot 2x \) có chu kỳ \( \frac{\pi}{2} \).
2. \( y = 2 \tan \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \) có chu kỳ \( \frac{\pi}{2} \).
3. \( y = \cos^2 x - 1 \) có chu kỳ \( \pi \).
4. \( y = \sin 2x \cdot \cos 2x \) có chu kỳ \( \frac{\pi}{2} \).