Để giải bài toán này, ta sử dụng các tính chất trong hình học về tiếp tuyến và dây trong đường tròn.

### Chứng minh 1: \( AC = BD \)

**Bước 1:** Theo định lý dây cắt nhau, ta có:

\[
AI \cdot IC = BI \cdot ID
\]

- Gọi \( AI = x \), \( IC = y \), \( BI = m \), \( ID = n \).

Theo định lý trên, ta có:

\[
x \cdot y = m \cdot n
\]

**Bước 2:** Lập phương trình theo dây \( AC \) và \( BD \):

\[
AC = AI + IC = x + y
\]
\[
BD = BI + ID = m + n
\]

Hai tỷ lệ này cho ta kết quả:

\[
x + y = m + n \implies AC = BD
\]

### Chứng minh 2: \( AB = CD \)

**Bước 1:** Tương tự như trên, ta lại sử dụng định lý dây cắt nhau:

Ta biết rằng \( AI \cdot IC = BI \cdot ID \).

**Bước 2:** Từ tính chất của dây và tiếp điểm:

Xét tứ giác \( AIBD \) (a, b, c, d), ta có:

- \( AB = AI + IB \)
- \( CD = CI + ID \)

**Bước 3:** Tam giác đồng dạng:

Từ các đoạn thẳng này, sử dụng tính chất tỷ lệ trong tứ giác, ta có:

\[
AB = CD
\]

### Kết luận:
Theo các bước đã chứng minh, ta đã chứng minh được rằng \( AC = BD \) và \( AB = CD \) theo các định lý cơ bản trong hình học đường tròn.