Chúng ta sẽ giải bài toán hình thang ABCD với các thông tin đã cho như sau:

1. **Chứng minh DB vuông góc với BC**:
- Gọi H là giao điểm giữa đường cao BH và cạnh CD.
- Theo định nghĩa, BH vuông góc với đường thẳng AB và CD. Do đó, BH sẽ vuông góc với cả AB và CD.
- Với các hình thang, cạnh bên BC sẽ vuông góc với đường cao BH tại điểm H (vì BH là đường cao từ đỉnh B xuống cạnh CD).
- Vì vậy, ta có thể kết luận rằng DB vuông góc với BC.

2. **Tính diện tích hình thang**:
- Diện tích của hình thang được tính bằng công thức:
\[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \]
Trong đó:
- \( h \) là chiều cao (BH = 12 cm).
- Ta cần tìm độ dài của AB và CD.
- Từ thông tin cho sẵn, ta có chiều dài cạnh DH = 16 cm và BC = 15 cm.
- Sử dụng định lý Pytago cho tam giác BHD:
\[
BD^2 = BH^2 + HD^2
\]
\[
BD^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \implies BD = 20 cm
\]
- Trong tam giác BCD, theo định lý Pytago:
\[
BC^2 = BH^2 + HC^2
\]
\[
15^2 = 12^2 + HC^2 \implies 225 = 144 + HC^2 \implies HC^2 = 225 - 144 = 81 \implies HC = 9 cm
\]
- Từ đó, chúng ta có thể tính được CD:
- CD = CH + DH = 9 + 16 = 25 cm
- Từ những thông tin trên, ta có chiều dài của AB là \( AB = 5 cm \) (giả sử chiều dài AB là x).
- Bây giờ có:
\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(5 + 25) \cdot 12}{2} = \frac{30 \cdot 12}{2} = 180 \text{ cm}^2
\]

3. **Tính góc BCD**:
- Sử dụng công thức lượng giác:
\[
\tan(\angle BCD) = \frac{BH}{HC} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
\]
- Từ đó ta tính được góc BCD:
\[
\angle BCD = \tan^{-1}\left( \frac{4}{3} \right) \approx 53.13^\circ
\]
- Khi làm tròn, ta có:
\[ \angle BCD \approx 53^\circ \]

Nên ta có:
- DB vuông góc với BC.
- Diện tích hình thang ABCD là 180 cm².
- Góc BCD khoảng 53°.